Úzká relace

Úzká relace je matematický pojem z oblasti teorie množin.

Definice

Nechť R je binární třídová (tj. R je libovolná, i vlastní, třída) relace. Označíme-li ${\displaystyle R^{-1}[y]=\{x;\,xRy\}}$, můžeme definovat, že relace R je úzká právě tehdy, když ${\displaystyle \,R^{-1}[y]}$ je množina pro každé y.

Příklady

• Pro ${\displaystyle R=\in }$ platí ${\displaystyle \,R^{-1}[y]=y}$, tedy ${\displaystyle \in }$ je úzká relace.
• Každá množinová binární relace (tj. taková, která je množinou) je úzká.

Mostowského věta o kolapsu

Mostowského věta o kolapsu říká, že úzkost je jednou ze (tří) základních vlastností relace ${\displaystyle \in }$, které tuto relaci do jisté míry jednoznačně charakterizují. Zní takto:

Nechť R je relace úzká, extenzionální a fundovaná na třídě A. Pak existuje právě jedna tranzitivní třída T taková, že struktury ${\displaystyle \,\langle A;R\rangle }$ a ${\displaystyle \langle T;\in \rangle }$ jsou izomorfní (tj. existuje ${\displaystyle \phi :A\rightarrow T}$ bijekce, že ${\displaystyle \,xRy\Leftrightarrow \phi (x)\in \phi (y)}$).

Související články

• Relace
• Extenzionální relace
• Fundovaná relace