Čtyřrozměrná platónská tělesa

Jedná se o čtyřrozměrné analogie trojrozměrných platónských těles. Tyto poprvé popsal švýcarský matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Zjistil, že jich existuje právě šest (5nadstěn, teserakt (8nadstěn), 16nadstěn, 24nadstěn, 120nadstěn a 600nadstěn). Pět z nich je možno chápat jako vícedimenzionální analogii konkrétních pěti platónských těles v trojrozměrném prostoru (5nadstěn, teserakt, 16nadstěn, 120nadstěn a 600nadstěn). Navíc ve čtyřrozměrném prostoru existuje ještě šesté těleso (24nadstěn), které nemá mezi trojrozměrnými platónskými tělesy ekvivalent.

Tabulka

Název	Obrázek	Počet stěn	Počet hran	Počet vrcholů	Typ nadstěny	Typ stěny	Počet hran u vrcholu	Počet stěn u vrcholu	Počet nadstěn u vrcholu	2D povrch	3D povrch	4D objem
Pentachoron (5nadstěn)		10	10	5	Čtyřstěn	Trojúhelník	4	6		${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\;\ a^{2}\,}$	${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;\ a^{3}\,}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\,}$
Teserakt (8nadstěn)		24	32	16	Krychle	Čtverec	4	6		${\displaystyle 24\ a^{2}\,}$	${\displaystyle 8\ a^{3}\,}$	${\displaystyle a^{4}\,}$
Ortoplex (16nadstěn)		32	24	8	Čtyřstěn	Trojúhelník				${\displaystyle 8{\sqrt {3}}\ a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\ a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {a^{4}}{6}}}$
Ikositetrachoron (24nadstěn)		96	96	24	Osmistěn	Trojúhelník	6			${\displaystyle 24{\sqrt {3}}\ a^{2}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {2}}\ a^{3}}$	${\displaystyle 2\ a^{4}}$
Hekatonikosachoron (120nadstěn)		720	1200	600	Dvanáctistěn	Pětiúhelník			4	${\displaystyle 180{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}}$	${\displaystyle 30(15+7{\sqrt {5}})a^{3}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1125}{8}}\left(2207+987{\sqrt {5}}\right)}}a^{4}}$
Hexakosichoron (600nadstěn)		1200	720	120	Čtyřstěn	Trojúhelník	10		20	${\displaystyle 300{\sqrt {3}}\ a^{2}}$	${\displaystyle 50{\sqrt {2}}\ a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}}$

Dualismus

Podobně jako ve 3D i 4D platónská tělesa jsou duální.

• 5nadstěn je duální sám se sebou.
• Teserakt a 16nadstěn jsou navzájem duální.
• 24nadstěn je duální sám se sebou.
• 120nadstěn a 600nadstěn jsou navzájem duální.

Související články

• Platónské těleso