Řád prvku

Řád prvku v grupě je takové nejmenší přirozené číslo , že (přičemž je neutrální prvek grupy ), značíme jej nebo .

Definice

Buď dána grupa , a prvek . Je-li cyklická grupa generovaná prvkem konečná, pak řád prvku v grupě klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak (u některých autorů ).

Tvrzení

  • Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
  • Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
  • Buď homomorfismus grup a prvek konečného řádu, pak . Je-li navíc injektivní, pak .
  • Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura

  • BERAN, Ladislav. Grupy a svazy. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1974. (Matematický seminář SNTL, 5). Kapitola 2.4 Podgrupa generovaná komplexem, s. 67–68. 
  • ROSICKÝ, Jiří. Algebra. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. 

Odkazy

Související články