Řád prvku

Řád prvku ${\displaystyle a\,\!}$ v grupě ${\displaystyle G\,\!}$ je takové nejmenší přirozené číslo ${\displaystyle n\,\!}$, že ${\displaystyle a^{n}=1\,\!}$ (přičemž ${\displaystyle 1\,\!}$ je neutrální prvek grupy ${\displaystyle G\,\!}$), značíme jej ${\displaystyle \operatorname {ord} \,a\,\!}$ nebo ${\displaystyle |a|\,\!}$.

Definice

Buď dána grupa ${\displaystyle G\,\!}$, a prvek ${\displaystyle a\in G\,\!}$. Je-li cyklická grupa generovaná prvkem ${\displaystyle a\,\!}$ konečná, pak řád prvku ${\displaystyle a\,\!}$ v grupě ${\displaystyle G\,\!}$ klademe roven řádu této cyklické grupy, jinak ${\displaystyle 0\,\!}$ (u některých autorů ${\displaystyle \infty \,\!}$).

Tvrzení

• Z Lagrangeovy věty plyne, že řád prvku je dělitelem řádu grupy.
• Pokud je řád prvku roven řádu grupy, pak je tento prvek jejím generátorem a tato grupa je cyklická.
• Buď ${\displaystyle f:G\rightarrow H\,\!}$ homomorfismus grup a ${\displaystyle a\in G\,\!}$ prvek konečného řádu, pak ${\displaystyle \operatorname {ord} \,f(a)|\operatorname {ord} \,a\,\!}$. Je-li navíc ${\displaystyle f\,\!}$ injektivní, pak ${\displaystyle \operatorname {ord} \,f(a)=\operatorname {ord} \,a\,\!}$.
• Neutrální prvek je jediný prvek grupy s řádem ${\displaystyle 1\,\!}$ (plyne z jednoznačnosti neutrálního prvku).

Literatura

• BERAN, Ladislav. Grupy a svazy. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1974. (Matematický seminář SNTL, 5). Kapitola 2.4 Podgrupa generovaná komplexem, s. 67–68. 
• ROSICKÝ, Jiří. Algebra. Brno: Masarykova univerzita, 2001. ISBN 80-210-2964-1. Kapitola 1.4 Základní vlastnosti grup, s. 26. 

Odkazy

Související články

• Grupa
• Cyklická grupa
• Řád grupy