Řídká matice

Řídké matice představují speciální třídu matic, jejichž struktura (zpravidla) nulových a nenulových prvků umožňuje provádět operace (klasické maticové operace ale i výpočetní, zejména uložení do paměti počítače) efektivněji, než pro tzv. plné (husté) matice, tedy matice mající všechny prvky obecně nenulové.

Konkrétní definice řídké matice se v různých pramenech liší. Nejčastěji se setkáme s některou z následujících definic:

• Řídká je matice, která má převážnou většinu prvků nulových.
• Řídká je matice, která je uložená v řídkém formátu.
• Řídká je matice, která má strukturu nenulových prvků, kterou dokážeme využít ke zefektivnění práce s maticí.

Uložení řídké matice

Při praktickém řešení úloh s maticemi na počítači, je primární úkol matici uložit do paměti počítače (na harddisk) a později s ní provádět různé operace (řešení soustavy rovnic, faktorizace, etc.), tedy držet matici v operační paměti počítače.

Uvažujme pro jednoduchost čtvercové regulární matice (tedy matice mající, mimo jiné, alespoň jeden nenulový prvek v každém řádku a sloupci). Uvažujme dále, že všechna čísla jsou uložena v dnes standardní dvojité přesnosti (double), tedy každé číslo zabere 8 bytů.

Na uložení matice ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ klasickým způsobem je třeba ${\displaystyle 8n^{2}}$ bytů.

Nejrozsáhlejší maticová úloha, v roce 2002, byl výpočet dominantního vlastního vektoru matice řádu ${\displaystyle n=2.7\times 10^{9}}$^[1] (jedná se o tzv. Google matrix (googlovská matice), kde počet řádků a sloupců matice odpovídá počtu webových stránek indexovaných vyhledávačem Google, je tedy zřejmé, že velikost nejrozsáhlejšího problému od roku 2002 narostla). Pro uložení jednoho řádku této matice v hustém formátu by bylo zapotřebí cca 20,1 GB, pro uložení celé matice pak cca 39290171 TB.^{[pozn. 1]}

Typickými představiteli řídkých matic jsou matice používané pro výpočet metodou konečných prvků (např. matice tuhosti), kde spolu typicky interagují nejbližší prvky a tato interakce je reprezentována prvky matice, které leží na její diagonále, případně v její blízkosti.

Googlovská matice je nicméně silně strukturovaná a většina jejích prvků je nulových (prvek ${\displaystyle a_{i,j}}$ je nenulový, pokud webová stránka s indexem ${\displaystyle i}$ obsahuje hypertextový odkaz na webovou stránku s indexem ${\displaystyle j}$). Pro uložení (nejen) takto rozsáhlých matic se používají tzv. řídké formáty.

Souřadnicový formát

Nejjednodušší z hlediska implementace (nikoliv však z hlediska provádění maticových operací) je souřadnicový formát. Uvažujme matici ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ mající ${\displaystyle k>n}$ nenulových prvků ${\displaystyle a_{i,j}}$. V souřadnicovém formátu ukládáme v podstatě uspořádané trojice

${\displaystyle (i,j,a_{i,j}).}$

Na uložení celé matice je tedy potřeba řádově ${\displaystyle 3k}$ čísel (celočíselná proměnná dostatečného rozsahu zabere stejně jako reálné číslo ve formátu double 8 bytů). Pokud ${\displaystyle 3k<n^{2}}$, pak je řídký formát úspornější.

Uspořádané trojice mohou být v paměti seřazeny různým způsobem (matice může být uložena po řádcích, po sloupcích, či náhodně) což může usnadnit ale i zkomplikovat (zrychlit či výrazně zpomalit) přístup k datům.

Souřadnicový formát řídkých matic ukládaný po sloupcích používá například Matlab.

CSR formát

Standardním formátem pro ukládání řídkých matic je CSR (compressed sparse rows), volně přeloženo: komprimované řídké řádky. Matice se uloží do tří polí. První pole obsahuje všechny nenulové (respektive ukládané) prvky matice srovnané po řádcích (prvky v rámci jednoho řádku mohou být srovnány v libovolném pořadí). Druhé pole obsahuje sloupcové indexy jednotlivých prvků. Třetí pole obsahuje ukazatele začátků řádků. Uvažujme následující příklad:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}10&&3\\&8&&4\\2&2&6\\&&&5\end{array}}\right],}$

pak jednotlivá pole CSR formátu jsou

${\displaystyle Data=[10,3,8,4,2,2,6,5]}$ (pole obsahující všechny ukládané prvky),

${\displaystyle Cols=[1,3,2,4,1,2,3,4]}$ (pole sloupcových indexů ukládaných prvků),

${\displaystyle Rows=[1,3,5,8]}$ (pole ukazatelů na začátky řádků do pole Data).

Pokud ukládáme ${\displaystyle k}$ prvků, pak je k uložení matice v CSR formátu potřeba ${\displaystyle 2k+n}$ čísel.

Analogicky lze použít formát CSC (compressed sparse columns).

Odkazy

Poznámky

Reference

Literatura

• Bartko, R. – Miller, M.: MATLAB I – algoritmizácia a riešenie úloh

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu řídká matice na Wikimedia Commons