σ-konečná míra

σ-konečná míra je v teorii míry označení takové míry, která je definována na σ-algebře ${\displaystyle \Sigma }$ tvořené podmnožinami množiny ${\displaystyle X}$, přičemž platí, že ${\displaystyle X}$ lze vyjádřit jako spočetné sjednocení množin o konečné míře.

Formální definice

Nechť ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ je měřitelný prostor s mírou ${\displaystyle \mu }$. Pak se ${\displaystyle \mu }$ nazývá σ-konečná, pokud splňuje jednu z následujících čtyř ekvivalentních podmínek:

1. Množinu ${\displaystyle X}$ je možno pokrýt spočetnou množinou měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$, kde ${\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<\infty }$ pro všechna ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ a přitom ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$
2. Množinu ${\displaystyle X}$ je možno pokrýt spočetnou množinou navzájem disjunktních množin o konečné míře. Tedy existují ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$, kde ${\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<\infty }$ a ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ a ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ pro ${\displaystyle i\neq j}$, které splňují ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X}$.
3. Množinu ${\displaystyle X}$ je možno pokrýt monotónní posloupností měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ s ${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$ splňující ${\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<\infty }$ pro všechna ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, přičemž platí ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$.
4. Existuje kladná měřitelná funkce ${\displaystyle f}$, jejíž integrál je konečný, tedy: ${\displaystyle f(x)>0}$ pro všechna ${\displaystyle x\in X}$ a ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty }$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku σ-finite measure na anglické Wikipedii.

Literatura

• LUKEŠ, Jaroslav; MALÝ, Jan. Míra a integrál. Praha: Karolinum, 2002. ISBN 80-246-0543-0. Kapitola A. Míra a měřitelné funkce.