120nadstěn

120nadstěn
Stodvacetinadstěn
Typ	Pravidelný polychoron
Nadstěn	120 (5.5.5)
Stěn	720 {5}
Hran	1200
Vrcholů	600
Uspořádání vrcholů	4 (5.5.5) (čtyřstěn)
Schläfliho symbol	{5,3,3}
Grupa symetrie	grupa [3,3,5]
Duální těleso	600nadstěn
Vlastnosti	konvexní

V geometrii je stodvacetinadstěn (což je volný překlad anglického 120-cell), nebo také hekatonikosachoron platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvanáctistěnu.

3povrch 120nadstěnu je tvořen ze 120 nadstěn majících tvar dvanáctistěnu. V jednom vrcholu se potkávají 4 nadstěny.

Objem, povrch a další parametry

Následující vzorce udávají, jaký je objem 120nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.^[1][2]

${\displaystyle S_{1D}}$ je tedy délka všech hran kostry 120nadstěnu.

${\displaystyle V_{4D}={\sqrt {{\frac {1125}{8}}\left(2207+987{\sqrt {5}}\right)}}a^{4}}$

${\displaystyle S_{3D}=30(15+7{\sqrt {5}})a^{3}}$

${\displaystyle S_{2D}=180{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}}$

${\displaystyle S_{1D}=1200\;a\,}$

Poloměr vepsané koule je

${\displaystyle \rho ={\frac {7+3{\sqrt {5}}}{4}}\;a}$

a poloměr koule opsané je

${\displaystyle r={\sqrt {7+3{\sqrt {5}}}}\;a}$

Kartézská soustava souřadnic

600 vrcholů 120nadstěnu má následující souřadnice: Všechny permutace znamének

(0, 0, ±2, ±2)

(±1, ±1, ±1, ±√5)

(±τ⁻², ±τ, ±τ, ±τ)

(±τ⁻¹, ±τ⁻¹, ±τ⁻¹, ±τ²)

a všechny sudé permutace

(0, ±τ⁻², ±1, ±τ²)

(0, ±τ⁻¹, ±τ, ±√5)

(±τ⁻¹, ±1, ±τ, ±2)

kde τ (nebo také φ) je zlatý řez, (1+√5)/2.

Reference

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu 120nadstěn na Wikimedia Commons