600nadstěn

600nadstěn
Typ	Pravidelný polychoron
Nadstěn	600 (3.3.3)
Stěn	1200 {3}
Hran	720
Vrcholů	120
Uspořádání vrcholů	20 (3.3.3) (dvacetistěn)
Schläfliho symbol	{3,3,5}
Grupa symetrie	grupa [3,3,5]
Duální těleso	120nadstěn
Vlastnosti	konvexní

V geometrii je šestisetnadstěn (což je volný překlad anglického 600-cell), nebo také hexakosichoron platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvacetistěnu.

3povrch 600nadstěnu je tvořen ze 600 nadstěn majících tvar čtyřstěnu. V jednom vrcholu se potkává 20 nadstěn. 600nadstěn má 1 200 trojúhelníkových stěn, 720 hran a 120 vrcholů. Duálním tělesem je 120nadstěn.

Objem, povrch a další parametry

Následující vzorce udávají, jaký je objem 600nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.^[1]

${\displaystyle S_{1D}}$ je tedy délka všech hran kostry 600nadstěnu.

${\displaystyle V_{4D}={\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}}$

${\displaystyle S_{3D}=50{\sqrt {2}}\ a^{3}}$

${\displaystyle S_{2D}=300{\sqrt {3}}\ a^{2}}$

${\displaystyle S_{1D}=720\ a\,}$

Poloměr vepsané koule je

${\displaystyle \rho ={\frac {\left(2+{\sqrt {5}}\right)}{2{\sqrt {2}}}}a}$

a poloměr koule opsané je

${\displaystyle r={\frac {\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}a}$

Kartézská soustava souřadnic

Je-li délka hrany 1/φ (kde φ = (1+√5)/2 je zlatý řez), pak 120 vrcholů 600nadstěnu má následující souřadnice:

(±½,±½,±½,±½), (všechny kombinace znamének ⇒ 16 vrcholů)

(0,0,0,±1) (permutace přes všechny souřadnice ⇒ 8 vrcholů)

½(±1,±φ,±1/φ,0) (sudé permutace ⇒ 96 vrcholů).

Přitom zjevně prvních 16 vrcholů jsou vrcholy teseraktu, následujících 8 vrcholů tvoří vrcholy 16nadstěnu prvních 16+8 vrcholů tvoří dohromady vrcholy 24nadstěnu.

Pokud tyto čtveřice souřadnic interpretujeme jako kvaterniony, potom 120 vrcholů 600nadstěnu tvoří uzavřenou konečnou grupu, která je izomorfní grupě SL(2,5).

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu 600nadstěn na Wikimedia Commons

• HyperSolids je open source program pro Macintosh (Mac OS X a vyšší).

Reference