AVL-strom

AVL strom je datová struktura pro uchovávání údajů a jejich vyhledávání. Pracuje v logaritmicky omezeném čase. Jedná se o samovyvažující se binární vyhledávací strom.

Jméno stromu pochází z iniciál jeho objevitelů. G. M. Adeľson-Velskij a Je. M. Landis popsali tuto strukturu v roce 1962 v článku An algorithm for the organization of information. Dokázali, že AVL-strom bude maximálně o 45 % vyšší než dokonale vyvážený strom, složený ze stejných vrcholů. Pokud v(n) je výška AVL-stromu s n uzly, potom platí

log(n+1) ≤ v(n) ≤ 1.4404 log(n+2) − 0.328.

Vlastnosti vrcholů AVL stromu

Vrchol má maximálně dva následníky (je to binární strom).
V levém podstromu vrcholu jsou pouze vrcholy s menší hodnotou klíče (je to binární vyhledávací strom).
V pravém podstromu vrcholu jsou pouze vrcholy s větší hodnotou klíče (je to binární vyhledávací strom).
Délka nejdelší větve levého a pravého podstromu každého uzlu se liší nejvýše o 1 (vyvážení AVL stromu).

Vlastnosti AVL stromu

Hlavní vlastností AVL stromu je, že definice nedovoluje, aby strom zdegeneroval, tj. zajišťuje vyváženost stromu. Pokud označíme i výšku stromu reprezentujícího množinu o velikosti n, platí následující:

${\frac {c_{1}}{\sqrt {5}}}({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{i+2}-1<F_{i+2}-1<=n<2^{i}-1$ ,

kde $F_{i}$ je i-té Fibonacciho číslo. Z toho plyne, že výška stromu je úměrná logaritmu velikosti reprezentované množiny.

Operace

Na AVL stromech je možno v čase $O(log(N))$ provádět následující operace:

vyhledání uzlu
vložení uzlu
zrušení uzlu

Vyhledání uzlu v AVL stromu

Vyhledávání uzlu v AVL stromu se realizuje stejně jako u binárního vyhledávacího stromu. Tato operace neklade žádné speciální požadavky a nemění strukturu stromu.

Vkládání do AVL stromu

Přidáváme-li nebo rušíme-li vrchol ve vyváženém stromu, může se tento strom stát nevyváženým.

Koeficient vyváženosti i-tého uzlu B_i = | v_{L_i} - v_{R_i} |, kde v_{L_i} je výška levého podstromu i-tého uzlu a v_{R_i} je výška pravého podstromu i-tého uzlu. Strom s kořenem i je vyvážený, jestliže B_i ≤ 1. Předpokládejme, že přidáme uzel do levého podstromu. Pokud si označíme K kořen, L levý, P pravý podstrom a v_L, v_P jejich výšky, pak před přidáním bude platit jedna z následujících možností:

v_L = v_P: Po přidání bude tedy výška levého podstromu o jedničku větší než je výška pravého podstromu, a proto bude vyváženost stromu zachována.
v_L < v_P: Po přidání budou výšky podstromů sobě rovny a kritérium vyváženosti se tedy ještě zlepší.
v_L > v_P: Po přidání bude výška levého podstromu o dvě větší než je výška pravého podstromu a bude kritérium vyváženosti stromu porušeno.

Před vložením hodnoty nejprve zjistíme, zda se daný uzel ve stromu již nenachází. Pokud takový uzel neexistuje, pak přidáme nový stejně jako u binárního vyhledávacího stromu a určíme pro něj koeficient vyváženosti. Potom následuje zkontrolování koeficientu vyváženosti pro každý uzel na cestě směrem ke kořeni stromu. Není-li splněno kritérium vyváženosti, musíme provést vyvažování stromu pomocí cyklické záměny ukazatelů (rotace stromu). Jakmile provedeme první vyvážení stromu, není už nutné pokračovat v procházení stromu až do kořene, protože strom je již vyvážený a koeficienty vyváženosti jsou správně nastaveny.

Při operaci vkládání a rušení je zapotřebí uchovávat o každém uzlu jeho koeficient vyváženosti. Proto je vhodné tento koeficient ukládat do každého vrcholu.

Rušení uzlů z AVL stromu

Rušení uzlů se vykonává stejně jako u binárního vyhledávacího stromu s tím, že pokud dojde k porušení vyváženosti, provede se znovuvyvážení pomocí příslušných jednoduchých či dvojitých rotací. Na rozdíl od vyvažování při vkládání uzlů, při odebírání uzlů se musí projít celá cesta až do kořene stromu a opravit koeficienty vyvážení a případně provést rotace.

Vyvažování AVL stromu

Operace potřebné pro vyvažování jsou realizovány cyklickými záměnami ukazatelů. Můžeme provádět jednoduché RR-rotace (pravá rotace), LL-rotace (levá rotace) nebo dvojité LR-rotace (nejprve levá a potom pravá), RL-rotace (nejprve pravá a potom levá). Při rotaci je nutné aktualizovat koeficient vyváženosti každého rotovaného uzlu.

Na první ukázce je po přidání uzlu do podstromu T3 porušena vyváženost stromu, protože u uzlu X nabývá koeficient vyváženosti hodnoty 2. Jednoduchou LL-rotací získáme opět vyvážený strom. V druhé ukázce je po vložení uzlu do podstromu T1 porušena vyváženost, která je odstraněná RR-rotací.

Přidáním uzlu do podstromu T2 se naruší kritérium vyváženosti kořene X (kritérium se změní na −2). Opětovného vyvážení dosáhneme složitější LR-rotací. Na poslední ukázce vyvažování AVL stromu je kritérium vyváženosti vrcholu X rovno dvěma, a proto je realizovaná dvojitá RL-rotace okolo uzlu X.