Abelova sumace

V matematice je Abelova sumace, pojmenovaná po Nielsi Henriku Abelovi, přepisem n-tého členu posloupnosti na rozdíl dvou po sobě jdoucích členech součtové řady dané touto posloupností.

Definice

Mějme dvě posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$ a ${\displaystyle (b_{n})}$, kde n=1,2,3,... a definujme ${\displaystyle A_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$.
Tedy ${\displaystyle a_{k}=A_{k}-A_{k-1}}$

Potom
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k}-A_{k-1})b_{k}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=1}^{n}A_{k-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}}$

A protože ${\displaystyle A_{0}=0}$, tak můžeme druhou sumu indexovat od jedničky.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1}=\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}(b_{k}-b_{k+1})+A_{n}b_{n}}$

Což je výsledek.

Použití

Abelovy sumace se používá zejména v matematických důkazech, když potřebujeme upravit součin dvou posloupností. Využíváme jí např. při důkazech kriterií konvergence součtové řady - Dirichletovo a Abelovo kriterium.