Absolutně spojitá funkce

Absolutní spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkci ${\displaystyle f(x)}$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, jestliže k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro každý systém intervalů ${\displaystyle \langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\,\dots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle }$, pro který je ${\displaystyle a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b}$, a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta }$ platí ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|f(b_{i})-f(a_{i})|<\varepsilon }$.

Prostor všech absolutně spojitých funkcí na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ značíme ${\displaystyle AC(a,b)}$

Příklady

• Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
• ${\displaystyle f(x)=x}$ je absolutně spojitá.

Ekvivalentní definice

${\displaystyle f}$ je absolutně spojitá na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ právě tehdy, když

• ${\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}$ je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
• ${\displaystyle \exists g\in L^{1}(a,b)}$ taková, že ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)}$
• ${\displaystyle \exists h\in L^{1}(a,b)}$ taková, že ${\displaystyle |f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle }$

Vlastnosti

• Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
• Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
• Každá lipschitzovská funkce je absolutně spojitá
• Absolutně spojitá funkce f má derivaci skoro všude a platí: ${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle }$
• pokud ${\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}$ a ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {dt} }$, pak ${\displaystyle F}$ je absolutně spojitá na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

Související články

• Lipschitzovsky spojité zobrazení
• Spojitá funkce