Adjungovaná matice

Adjungovaná matice (v některé literatuře též reciproká matice) je transponovaná matice algebraických doplňků.

Definice

Mějme čtvercovou matici ${\boldsymbol {A}}$ s prvky $a_{ij}$ . Označíme-li $A_{ij}$ algebraický doplněk příslušný k prvku $a_{ij}$ , pak

(\mathrm {adj} \;{\boldsymbol {A}})_{ij}=A_{ji}=(-1)^{j+i}\det {\boldsymbol {M}}_{ji}

neboli

\mathrm {adj} \;{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\det {\boldsymbol {\boldsymbol {M}}}_{11}&-\det {\boldsymbol {M}}_{21}&\cdots &(-1)^{n+1}\det {\boldsymbol {M}}_{n1}\\-\det {\boldsymbol {M}}_{12}&+\det {\boldsymbol {M}}_{22}&\cdots &(-1)^{n+2}\det {\boldsymbol {M}}_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{1+n}\det {\boldsymbol {M}}_{1n}&(-1)^{2+n}\det {\boldsymbol {M}}_{2n}&\cdots &(-1)^{n+n}\det {\boldsymbol {M}}_{nn}\end{pmatrix}}

kde ${\boldsymbol {M}}_{ji}$ je matice, která vznikne z matice ${\boldsymbol {A}}$ vynecháním $j$ -tého řádku a $i$ -tého sloupce.

Je-li matice ${\boldsymbol {A}}$ regulární, pak pro její inverzi platí

{\boldsymbol {A}}^{-1}={\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\cdot \mathrm {adj} \;{\boldsymbol {A}}

BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.