Afinní geometrie

Afinní geometrie je typ geometrie, ve které jsou definovány body, vektory a přímky, ale nejsou definovány vzdálenosti, velikosti úhlů ani např. kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonhard Euler,[1] jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu.[2]

Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinit. Afinity převádějí přímky na přímky a zachovávají rovnoběžnost a dělicí poměr bodů v přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají středy úseček, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly a hyperboly na hyperboly.

Afinní geometrii v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. [3]

V lineární algebře se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného vektorového prostoru nad tělesem jako jeho afinní rozšíření.[4] Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod (počátek souřadnicové soustavy) a n vektorů , které tvoří bázi příslušného vektorového prostoru. Libovolný bod x je pak možné vyjádřit jednoznačně jako . Koeficienty se nazývají souřadnice bodu x.

Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. afinní transformace. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat

kde A je matice a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení lineárního zobrazení a posunutí.

Množina všech invertibilních afinních transformací se nazývá afinní grupa. Obsahuje všechna posunutí a regulární lineární zobrazení vektorů.

Afinní geometrii lze dostat z obecnější projektivní geometrie. Jedna nadrovina projektivního prostoru se stane význačnou a afinity jsou pak projektivity zachovávající tuto nadrovinu, tzv. nadrovinu nevlastních bodů (směrů).

Reference

  1. BLASCHKE, Wilhelm. Analytische Geometrie. [s.l.]: Birkhäuser, 1954. Dostupné online. ISBN 978-3764300319. (anglicky) 
  2. COXETER, H.S.M. Introduction to geometry. [s.l.]: Wiley, 1989. ISBN 978-0471504580. S. 191. (anglicky) 
  3. Coxeter, strana 192
  4. BICAN, Ladislav. Lineární algebra a geometrie. [s.l.]: Academia, 2002. ISBN 80-200-0843-8. Kapitola Afinní prostor. 

Externí odkazy