Afinní obal

Podobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu k afinním kombinacím.

Definice

Mějme ${\displaystyle \scriptstyle V}$ vektorový prostor a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ sadu vektorů z ${\displaystyle \scriptstyle V}$. Množinu všech afinních kombinací této sady vektorů nazýváme afinní obal vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ (angl. affine span či affine hull). Někdy se afinní obal zmíněných vektorů značí jako ${\displaystyle \scriptstyle [{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}]_{\alpha }}$ či ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {aff} ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})}$. V matematické symbolice tedy

${\displaystyle \mathrm {aff} ({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})\equiv \left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}{\Bigg |}(\forall i\in {\hat {n}})(\alpha _{i}\in T)\wedge \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1\right\},}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {n}}\equiv \{1,\ldots ,n\}}$

Vlastnosti

Některá tvrzení platná pro lineární obaly a podprostory vektorového prostoru jsou v platnosti i pro afinní obaly, zaměníme-li vektorový podprostor lineární varietou. V následujícím se budeme pohybovat ve vektorovém prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ nad tělesem ${\displaystyle \scriptstyle T}$.

Afinní obal jako lineární varieta

• Afinní obal je lineární varieta v daném vektorovém prostoru.

Důkaz: Doplnit...

• Afinní obal vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ je nejmenší (ve smyslu inkluze) lineární varieta ve vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$, která obsahuje ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$. Neboli, afinní obal vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ je roven průniku všech lineárních variet ${\displaystyle \scriptstyle W}$ vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$, které obsahují tyto vektory. Matematicky zapsáno

${\displaystyle {\text{aff}}({\vec {x}}_{1},{\vec {x}}_{2},\ldots ,{\vec {x}}_{n})=\bigcap _{W\ {\text{je lin. varieta ve}}\ V,\ \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\subset W}W}$

Důkaz: Doplnit...

Ostatní

• Afinní kombinace vektorů obsahuje všechny tyto vektory, neboli

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall i\in {\hat {n}})({\vec {x}}_{i}\in {\text{aff}}({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}))}$

Důkaz: Zřejmý, pro dané ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{i_{0}}}$ položíme v sumě ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {x}}_{i}}$ koeficient ${\displaystyle \scriptstyle \alpha _{i_{0}}=1}$ a všechny ostatní nulové.

Geometrická interpretace

Podobně jako lineární obaly, i afinní obaly mají názornou geometrickou interpretaci. Přinejmenším uvažujeme-li vektorové prostory aritmetických vektorů, tj. uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. Pro jednoduchost vezměme trojrozměrný prostor ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$ nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané trojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem

${\displaystyle \alpha {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\quad +\quad {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\quad =\quad {\begin{pmatrix}\alpha x_{1}+y_{1}\\\alpha x_{2}+y_{2}\\\alpha x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}}.}$

Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat ve "fyzikálním smyslu", tj. jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše odpovídá skládání šipek. Budeme-li brát po řadě jedno-, dvou- a tříprvkové množiny vektorů, jejich afinní obaly lze interpretovat takto:

• Afinní obal jediného vektoru je pouze tento vektor sám. Pro porovnání, lineární obal jednoho vektoru je roven vektoru samotnému jenom v jediném případě a to když je tento vektor nulový.
• Máme-li dva (navzájem různé) vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ z ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$, tak jejich obecná afinní kombinace vypadá jako

${\displaystyle \alpha {\vec {x}}_{1}+(1-\alpha ){\vec {x}}_{2},}$

kde ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \mathbb {R} }$. Vektory ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1}}$ a ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{2}}$ jsou představovány dvěma body a na jejich afinní kombinaci můžeme nazírat jako na přímku procházející těmito dvěma body. Afinní obal dvou vektorů v ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$ je tedy přímka procházející těmito vektory. Rozdíl oproti lineárnímu obalu je v tom, že zatímco lineární obal jednoho nenulového vektoru je přímka procházejí počátkem a tímto vektorem, afinní obal jednoho vektoru je pouze tento vektor sám. Abychom dostali přímku, potřebujeme u afinních obalů vektory dva, oproti lineárnímu obalu ale tato přímka již nemusí procházet počátkem.

• Afinní obal tří (lineárně nezávislých) vektorů je rovina procházející těmito třemi vektory alias body. Pro lineární obal tří lineárně nezávislých vektorů bychom dostali celý prostor ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Z předchozí diskuze je tedy patrné, že geometrický objekt coby afinní obal daného počtu vektorů má o jednu dimenzi méně, než geometrický objekt vzniklý z těchže vektorů pomocí lineárního obalu.

Související pojmy

Mějme množinu vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ z vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$. V oddíle Geometrická interpretace jsme viděli, že na afinní obaly vektorů lze nazírat jako na geometrické objekty o dané dimenzi, která je o jedničku nižší než odpovídající geometrický objekt vzniklý z týchž vektorů pomocí lineárního obalu. Dimenzi afinního obalu zmíněných vektorů říkáme afinní hodnost souboru ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$.

Podobně jako v případě lineárních kombinací, kdy lze definovat lineární nezávislost, můžeme i v případě afinních kombinací definovat afinní (ne)závislost. Řekneme, že soubor ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ je afinně nezávislý, právě když je jeho afinní hodnost rovna číslu ${\displaystyle \scriptstyle n-1.}$ Pokud je jeho afinní hodnost ostře menší než ${\displaystyle \scriptstyle n-1}$, tak říkáme, že je afinně závislý. Označíme-li afinní hodnost souboru vektorů jako ${\displaystyle \scriptstyle {\text{h}}_{\alpha }({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})}$, pak můžeme psát, že soubor vektorů je afinně nezávislý, právě když

${\displaystyle {\text{h}}_{\alpha }({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})=n-1}$

a afinně závislý, právě když

${\displaystyle {\text{h}}_{\alpha }({\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n})<n-1.}$

Z definice je ihned patrné, že množina obsahující pouze jediný vektor je vždy afinně nezávislá.

Protože se častěji pracuje s lineární nezávislostí, je užitečné najít vztah této a afinní nezávislosti. K tomu se hodí následující tvrzení: Mějme soubor vektorů ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}}$ z vektorového prostoru ${\displaystyle \scriptstyle V}$ pro ${\displaystyle \scriptstyle n\geq 2}$. Dále nechť ${\displaystyle \scriptstyle i_{0}\in {\hat {n}}}$ je libovolně, ale pevně, zvolený index. Pak platí

${\displaystyle \{{\vec {x}}_{1},\ldots ,{\vec {x}}_{n}\}\quad {\text{je afinně nezávislý}}\quad \Leftrightarrow \quad \{{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{i_{0}},\ldots ,{\vec {x}}_{i_{0}-1}-{\vec {x}}_{i_{0}},{\vec {x}}_{i_{0}+1}-{\vec {x}}_{i_{0}},\ldots ,{\vec {x}}_{n}-{\vec {x}}_{i_{0}}\}\quad {\text{je lineárně nezávislý}}.}$

Literatura

• PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.  – skripta FJFI ČVUT

Související články

• lineární obal
• konvexní obal