Airyho funkce

Airyho funkce ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ je vyšší transcendentní funkce pojmenovaná podle britského matematika a astronoma George Airyho. Funkce ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ a s ní příbuzná funkce ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ tvoří řešení diferenciální rovnice

${\displaystyle y''-xy=0,}$

která je známa jako Airyho nebo Stokesova rovnice. Přesné řešení této rovnice má tvar

${\displaystyle y=c_{1}\mathrm {Ai} (x)+c_{2}\mathrm {Bi} (x),}$

kde ${\displaystyle c_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}}$ jsou neznámé reálné (popřípadě komplexní) koeficienty (integrační konstanty). Toto řešení má charakteristický tvar, kde funkce prvně osciluje, poté však exponenciálně roste nebo klesá.

Definice

Airyho funkce je definována integrálním tvarem

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t.}$

A podobně i funkce ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$.

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\mathrm {d} t}$

V grafu jsou vidět výše zmíněné vlastnosti. Obě funkce pro ${\displaystyle x<0}$ oscilují, ovšem v bodě ${\displaystyle x=0}$ se situace změní. Pro ${\displaystyle x>0}$ funkce ${\displaystyle \mathrm {Ai} (x)}$ exponenciálně klesá a funkce ${\displaystyle \mathrm {Bi} (x)}$ naopak exponenciálně roste.

Užití

Kvantová mechanika

Airyho funkci obsahuje například vlnová funkce částice, která se pohybuje v jednodimenzionálním prostoru a současně v homogenním potenciálovém poli. Schrödingerova rovnice pro takovou částici vypadá následovně:

${\displaystyle E\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+Fx\Psi ,}$

kde ${\displaystyle E}$ je celková energie částice, ${\displaystyle \Psi }$ její vlnová funkce a ${\displaystyle m}$ její hmotnost. ${\displaystyle \hbar }$ značí redukovanou Planckovu konstantu, ${\displaystyle x}$ polohu částice a ${\displaystyle F}$ sílu, která na částici působí. Rovnici upravíme do přehlednějšího tvaru.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}={\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\Psi }$

Vlnová funkce částice pak má předpis

${\displaystyle \Psi (x)=c_{1}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right)+c_{2}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right),}$

kde ${\displaystyle c_{1}}$ a ${\displaystyle c_{2}}$ jsou komplexní koeficienty. Pokud však máme částici naprosto volnou v celém jednodimenzionálním vesmíru a nemáme nijak specificky dané podmínky pro jeho hranice, bude mít vlnová funkce trochu jednodušší tvar. Jde o to, že pro ${\displaystyle x}$ menší než ${\displaystyle {\frac {E}{F}}}$ (v místech, kde je energie částice větší než potenciální) má částice oscilující vlnovou funkci, kdežto v případě kdy částice překoná vzdálenost ${\displaystyle {\frac {E}{F}}}$, začne její funkce exponenciálně klesat nebo růst. Tento jev nastane právě proto, že se částice v takovém momentu dostane do poloh s vyšším potenciálem, než je mechanická energie částice. Z klasické mechaniky by se do takových míst nemělo těleso nikdy dostat, ale kvantová mechanika tento děj připouští, dokonce pro něj má i speciální označení: tunelový jev. Nicméně z logiky věci a našich zkušeností s kvantovým tunelováním by pravděpodobnost výskytu částice měla s rostoucí polohou neustále slábnout a blížit se k nule. Není totiž možné, aby se částice nacházela v místě, na jehož dosažení její energie nestačí, mnohonásobně pravděpodobněji než v místech, kterých může bezpečně dosáhnout i bez tunelování. Natož pak, aby pravděpodobnost rostla se zvyšující se polohou ${\displaystyle x}$. Musí tomu být přesně naopak. Tuto podmínku lze vyjádřit matematicky jako

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\Psi (x)=0.}$

Této podmínky je možné dosáhnout pouze položením ${\displaystyle c_{2}=0}$. Vlnová funkce tak získává mnohem elegantnější tvar.

${\displaystyle \Psi (x)=c_{1}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right)}$

Koeficient ${\displaystyle c_{1}}$ je možné určit normalizací vlnové funkce. Menší problém je, že hustota pravděpodobnosti ${\displaystyle \rho (x)=|\Psi |^{2}=\left(|c_{1}|\operatorname {Ai} (x)\right)^{2}}$ po integrování na celém prostoru nedává konečný výsledek, takový integrál je divergentní. Tím pádem funkci nelze normalizovat. Na druhou stranu pokud prostor ohraničíme zleva a částice se bude moct pohybovat pouze v intervalu ${\displaystyle \langle x_{0},\infty )}$, kde ${\displaystyle x_{0}}$ tvoří určitý hraniční bod tohoto světa na polopřímce, integrál hustoty pravděpodobnosti v tomto intervalu bude konvergentní a vlnovou funkci bude možné normalizovat.

${\displaystyle \int _{x_{0}}^{\infty }\rho (x)\,\mathrm {d} x=|c_{1}|^{2}\int _{x_{0}}^{\infty }{\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{\frac {2mF}{\hbar ^{2}}}}\left(x-{\frac {E}{F}}\right)\right)}^{2}\,\mathrm {d} x=1}$

Zároveň se neporuší logická podmínka pro tunelování ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\Psi (x)=0}$, protože směrem doprava, do vyšších potenciálních energií má částice volný přístup. Kdybychom hypotetický 1D vesmír omezili zprava, podmínka ${\displaystyle c_{2}=0}$ by už nemusela být nezbytnou.

Optika

Rozptylová funkce

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Airy function na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Airyho funkce na Wikimedia Commons
• Airyho funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Ai
• Bi