Airyho funkce

Airyho funkce je vyšší transcendentní funkce pojmenovaná podle britského matematika a astronoma George Airyho. Funkce a s ní příbuzná funkce tvoří řešení diferenciální rovnice

která je známa jako Airyho nebo Stokesova rovnice. Přesné řešení této rovnice má tvar

kde a jsou neznámé reálné (popřípadě komplexní) koeficienty (integrační konstanty). Toto řešení má charakteristický tvar, kde funkce prvně osciluje, poté však exponenciálně roste nebo klesá.

Definice

Graf Ai(x) červeně a Bi(x) modře

Airyho funkce je definována integrálním tvarem

A podobně i funkce .

V grafu jsou vidět výše zmíněné vlastnosti. Obě funkce pro oscilují, ovšem v bodě se situace změní. Pro funkce exponenciálně klesá a funkce naopak exponenciálně roste.

Užití

Kvantová mechanika

Airyho funkci obsahuje například vlnová funkce částice, která se pohybuje v jednodimenzionálním prostoru a současně v homogenním potenciálovém poli. Schrödingerova rovnice pro takovou částici vypadá následovně:

kde je celková energie částice, její vlnová funkce a její hmotnost. značí redukovanou Planckovu konstantu, polohu částice a sílu, která na částici působí. Rovnici upravíme do přehlednějšího tvaru.

Vlnová funkce částice pak má předpis

kde a jsou komplexní koeficienty. Pokud však máme částici naprosto volnou v celém jednodimenzionálním vesmíru a nemáme nijak specificky dané podmínky pro jeho hranice, bude mít vlnová funkce trochu jednodušší tvar. Jde o to, že pro menší než (v místech, kde je energie částice větší než potenciální) má částice oscilující vlnovou funkci, kdežto v případě kdy částice překoná vzdálenost , začne její funkce exponenciálně klesat nebo růst. Tento jev nastane právě proto, že se částice v takovém momentu dostane do poloh s vyšším potenciálem, než je mechanická energie částice. Z klasické mechaniky by se do takových míst nemělo těleso nikdy dostat, ale kvantová mechanika tento děj připouští, dokonce pro něj má i speciální označení: tunelový jev. Nicméně z logiky věci a našich zkušeností s kvantovým tunelováním by pravděpodobnost výskytu částice měla s rostoucí polohou neustále slábnout a blížit se k nule. Není totiž možné, aby se částice nacházela v místě, na jehož dosažení její energie nestačí, mnohonásobně pravděpodobněji než v místech, kterých může bezpečně dosáhnout i bez tunelování. Natož pak, aby pravděpodobnost rostla se zvyšující se polohou . Musí tomu být přesně naopak. Tuto podmínku lze vyjádřit matematicky jako

Této podmínky je možné dosáhnout pouze položením . Vlnová funkce tak získává mnohem elegantnější tvar.

Koeficient je možné určit normalizací vlnové funkce. Menší problém je, že hustota pravděpodobnosti po integrování na celém prostoru nedává konečný výsledek, takový integrál je divergentní. Tím pádem funkci nelze normalizovat. Na druhou stranu pokud prostor ohraničíme zleva a částice se bude moct pohybovat pouze v intervalu , kde tvoří určitý hraniční bod tohoto světa na polopřímce, integrál hustoty pravděpodobnosti v tomto intervalu bude konvergentní a vlnovou funkci bude možné normalizovat.

Zároveň se neporuší logická podmínka pro tunelování , protože směrem doprava, do vyšších potenciálních energií má částice volný přístup. Kdybychom hypotetický 1D vesmír omezili zprava, podmínka by už nemusela být nezbytnou.

Optika

Rozptylová funkce

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Airy function na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Airy Functions.svg
A graph of the Airy functions, Ai(x) and Bi(x) over x=(-15,5).