Alef 0

${\displaystyle \aleph _{0}}$ (Alef 0) (ve stejném významu se používá též ${\displaystyle \,\omega _{0}}$ či jen ${\displaystyle \,\omega }$) je nejmenší nekonečné ordinální i kardinální číslo.

Vlastnosti

${\displaystyle \aleph _{0}}$ je

• limitní ordinál a limitní kardinál
• regulární ordinál
• mohutností množiny přirozených, racionálních i algebraických čísel
• nejmenší hodnotou funkce alef

Značení

V současné době jsou všechna tři značení pro nejmenší nekonečný ordinál (tj. ${\displaystyle \aleph _{0},\omega _{0},\omega }$) považována za v podstatě rovnocenná. Z historických důvodů ovšem bývá zvykem používat značení

• ${\displaystyle \,\aleph _{0}}$ pokud hovoříme o tomto čísle jako o čísle kardinálním,
• ${\displaystyle \,\omega _{0}}$ a ${\displaystyle \,\omega }$ pokud o něm hovoříme jako o čísle ordinálním, přičemž index 0 se většinou užívá tehdy, uvažujeme-li toto číslo v kontextu vyšších počátečních ordinálních čísel.

Toto značení má své historické opodstatnění. V počátcích naivní teorie množin byla ordinální a kardinální čísla chápána jako typy dobrých uspořádání resp. mohutností množin, tedy jako odlišné objekty, které spolu nemají nic společného. Ordinální číslo ${\displaystyle \omega }$ bylo chápáno jako typ dobrého uspořádání množiny přirozených čísel, tj. jako typ uspořádání, které je limitou typů uspořádání konečných množin. Odtud zřejmě pochází označení ${\displaystyle \omega }$ posledním písmenem řecké abecedy. Naopak kardinální číslo ${\displaystyle \aleph _{0}}$ je nejmenším z řady typů nekonečných velikostí. Odtud pochází označení ${\displaystyle \aleph _{0}}$ prvním písmenem hebrejské abecedy (nejvyšší mohutnost, mohutnost třídy všech kardinálních čísel označil Georg Cantor posledním písmenem hebrejské abecedy ת (taf)).

Související články

• Funkce alef
• Epsilon 0
• Taf (číslo)