Algebraické číslo

Algebraické číslo je každé komplexní číslo, které je kořenem nějakého polynomu (mnohočlenu) s racionálními koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé racionální číslo je algebraické. Iracionální číslo ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice ${\displaystyle x^{2}-2=0}$. Naopak Ludolfovo číslo ${\displaystyle \pi }$ algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají transcendentní. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.

Z poznatků algebry a geometrie plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je kvadratura kruhu, trisekce úhlu či duplikace krychle.

Analogie algebraického čísla pro jiná tělesa než racionální čísla se nazývá algebraický prvek.

Vlastnosti

• Součet, rozdíl, součin a podíl algebraických čísel je opět algebraické číslo (vyjma dělení nulou), algebraická čísla jsou tedy na těchto operacích uzavřená a množina všech algebraických čísel tak tvoří těleso (splnění ostatních požadovaných vlastností operací kromě uzavřenosti vyplývá obecně z vlastností operací s komplexními čísly).
• Kořeny polynomu, jehož koeficienty jsou algebraická čísla, jsou opět algebraická čísla.
• Algebraických čísel je spočetně mnoho.

Odkazy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu algebraické číslo na Wikimedia Commons
• Algebraické číslo v encyklopedii MathWorld (anglicky)