Analytická geometrie

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.

Historie

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ bodů i vektorů. Velikost vektoru ${\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$ je ${\displaystyle {\sqrt {v_{1}^{2}+\ldots +v_{n}^{2}}}}$ a skalární součin vektorů ${\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})\cdot (w_{1},\ldots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\ldots v_{n}w_{n}}$. Přímky jsou dány jako množiny ${\displaystyle \{a+t\mathbf {v} ;\,t\in \mathbb {R} \}}$ kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice jako množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ (středu kružnice). Její rovnice je ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}],p(y_{1},\ldots ,y_{n})=0,A\in p\Leftrightarrow p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

Vzájemná poloha bodu a přímky

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}],p:a_{1}y_{1}+\ldots +a_{n}y_{n}+d=0,A\in p\Leftrightarrow a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+d=0}$

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice

Obecný bod může ležet

• uvnitř kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je menší než poloměr)
• na kružnici (vzdálenost středu kružnice a bodu je rovna poloměru)
• vně kružnice (vzdálenost středu kružnice a bodu je větší než poloměr)

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost ${\displaystyle m}$ bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem ${\displaystyle {(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}=r^{2}}$, pak mocnost bodu ${\displaystyle [x^{\prime },y^{\prime }]}$ k této kružnici se určí jako

${\displaystyle m={(x^{\prime }-x_{0})}^{2}+{(y^{\prime }-y_{0})}^{2}-r^{2}}$

Pro ${\displaystyle m=0}$ leží bod na kružnici, pro ${\displaystyle m>0}$ leží bod vně kružnice a pro ${\displaystyle m<0}$ uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek

V rovině

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě – průsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů ${\displaystyle x,y}$ splňujících rovnice

${\displaystyle y=k_{1}x+q_{1}}$

${\displaystyle y=k_{2}x+q_{2}}$

Podmínka rovnoběžnosti je ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$. Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ splňují podmínku ${\displaystyle k_{1}k_{2}+1=0}$.

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

${\displaystyle x_{P}={\frac {q_{1}-q_{2}}{k_{2}-k_{1}}}\quad y_{P}={\frac {q_{1}k_{2}-q_{2}k_{1}}{k_{2}-k_{1}}}}$

V třírozměrném prostoru

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky mohou být zadané rovnicemi

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0,\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\quad }$.

a

${\displaystyle a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0,\quad a_{4}x+b_{4}y+c_{4}z+d_{4}=0\quad }$

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\a_{4}&b_{4}&c_{4}&d_{4}\end{pmatrix}}}$

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato matice má hodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třemi sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic ${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ a vzdálenosti jejich středů s.

Kružnice

• jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k₁)
  • pokud zároveň ${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$, pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
  • v ostatních případech (${\displaystyle r_{1}\neq r_{2}}$) nemají společný bod.
• nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud ${\displaystyle 0<s<\left|r_{1}-r_{2}\right|}$ (viz kružnice k a k₂)
• mají vnitřní dotyk, pokud ${\displaystyle s=\left|r_{1}-r_{2}\right|}$ (viz kružnice k a k₃)
• se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud ${\displaystyle \left|r_{1}-r_{2}\right|<s<r_{1}+r_{2}}$ (viz kružnice k a k₄)
• mají vnější dotyk, pokud s = r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₅)
• nemají společný bod (leží vně), pokud s > r₁ + r₂ (viz kružnice k a k₆)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru ${\displaystyle r}$.

• ${\displaystyle s>r}$: přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
• ${\displaystyle s=r}$: přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
• ${\displaystyle s<r}$: přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí ${\displaystyle y=kx+q}$ a kružnici se středem v počátku a rovnicí ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

${\displaystyle \left[-{\frac {qk}{1+k^{2}}}\pm {\frac {1}{1+k^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1+k^{2})-q^{2}}},\;{\frac {q}{1+k^{2}}}\pm {\frac {k}{1+k^{2}}}{\sqrt {r^{2}(1+k^{2})-q^{2}}}\right]}$

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen ${\displaystyle D=r^{2}(1+k^{2})-q^{2}}$. Pro ${\displaystyle D>0}$ protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro ${\displaystyle D=0}$ mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro ${\displaystyle D<0}$ přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru

Dvě různé roviny ${\displaystyle \rho ,\sigma }$ v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku ${\displaystyle p}$, se nazývají různoběžné a značí ${\displaystyle \rho \nparallel \sigma }$. Přímka ${\displaystyle p}$ se nazývá průsečnice obou rovin ${\displaystyle \rho }$ a ${\displaystyle \sigma }$.

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), se označují jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi ${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$ a ${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články

• Geometrie
• Euklidova geometrie
• Algebraická geometrie
• Diferenciální geometrie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu analytická geometrie na Wikimedia Commons