Antisymetrická relace

Binární relace ${\displaystyle R}$ na množině ${\displaystyle M}$, ve které vztah ${\displaystyle aRb}$ a zároveň ${\displaystyle bRa}$ (neboli ${\displaystyle (a,b)\in R\land (b,a)\in R}$) neplatí

• pro žádné ${\displaystyle a\neq b}$, se nazývá antisymetrická nebo též slabě antisymetrická.^[1][2]
• pro vůbec žádné ${\displaystyle a,b}$, se nazývá silně antisymetrická nebo též asymetrická.^[2]

„Silně antisymetrická“ tedy znamená „slabě antisymetrická a zároveň ireflexivní“. Slovo „slabě“ se vynechává tam, kde nehrozí nedorozumění: u ireflexivních relací, kde pojem silné a slabé antisymetrie značí totéž, nebo naopak u reflexivních relací, které nikdy nemohou být silně antisymetrické (s výjimkou prázdné relace na prázdné množině).

Např. na přirozených číslech

• Relace ${\displaystyle |a-b|<=1}$, tj. „čísla jsou si rovna nebo spolu sousedí“ není ani slabě antisymetrická, neboť do této relace patří jak dvojice ${\displaystyle (1,2)}$, tak ${\displaystyle (2,1)}$. Jinými slovy, čísla ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ jsou spolu v relaci „obousměrně“.
• Běžná neostrá nerovnost ${\displaystyle a\leq b}$ je slabě antisymetrická: pokud např. ${\displaystyle 3\leq 5}$, nemůže zároveň platit ${\displaystyle 5\leq 3}$. Ovšem není silně antisymetrická, protože je reflexívní: ${\displaystyle 3\leq 3}$.
• Běžná ostrá nerovnost ${\displaystyle a<b}$ je příkladem silně antisymetrické relace.

Typickým příkladem antisymetrických relací jsou

• Neostrá částečná uspořádání neboli reflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.
• Ostrá částečná uspořádání neboli ireflexivní antisymetrické a tranzitivní binární relace.

Slabá antisymetrie není opakem symetrie ${\displaystyle (a\mathbf {R} b\Rightarrow b\mathbf {R} a)}$. Existují relace, které jsou jak symetrické, tak slabě antisymetrické (rovnost), existují i relace, které nejsou ani symetrické, ani slabě antisymetrické (dělitelnost v okruhu celých čísel), existují relace, které jsou symetrické, ale nejsou slabě antisymetrické (dělení modulo p, kde p je prvočíslo), a existují relace, které nejsou symetrické, ale jsou slabě antisymetrické („je menší nebo rovno“).

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. vyd. Praha: Academia, 2001. 464 s. ISBN 80-200-0470-X.