Torus

Torus v trojrozměrném prostoru

Torus (též anuloid) je rotační plocha, která vznikne otáčením kružnice kolem osy, která leží ve stejné rovině a nemá s ní společné body. Tento tvar má například vzdušnice (duše) pneumatiky nebo nafukovací kruh.

V architektuře označuje torus (česky obloun) oblý kruhový výstupek hlavice sloupu, protikladem je trochilus, výžlabek.

Rovnice

Parametricky lze torus středově souměrný podle počátku a osově podle osy z v kartézských souřadnicích vyjádřit:

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$

${\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$

${\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}$

kde

u, v ∈ [0, 2π),

R je vzdálenost středu „trubice“ ke středu toru,

r je poloměr „trubice“.

Obecná rovnice (téhož) toru je (z Pythagorovy věty):

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$,

neboli

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$.

Torus je tedy algebraická plocha 4. stupně, neboli kvartická plocha.

Stereografická projekce Cliffordova torusu ve čtyřech rozměrech znázorněná jako jednoduchá rotace plochou xz

n-rozměrný torus

Torus lze zobecnit ve více rozměrech jako n-rozměrný torus (n-torus nebo hypertorus). Zatímco torus je prostorový útvar dvou kružnic, je n-rozměrný torus produktem n kružnic.

Vlastnosti

Z Guldinových vět snadno dostáváme:

Povrch toru je určený jako

${\displaystyle S=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}$

Objem toru je určen vztahem

${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,}$

Průběh everze toru

Zobecnění

Zobecněný torus - toroid

V obecnějším případě lze torus definovat i jako elipsu či jinou kuželosečku rotovanou kolem komplanární osy.

Torus je zvláštním případem toroidu, kde místo kružnice může být obecná uzavřená křivka.

Související články

• Geometrický útvar
• Kružnice
• Toroid

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu torus na Wikimedia Commons