Argument hyperbolického kosekans

Graf funkce argument hyperbolického kosekans

Argument hyperbolického kosekans je hyperbolometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {arcsch} x}$.

Definice

Argument hyperbolického kosekans je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosekans definovanému na množině kladných reálných čísel. Platí ${\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)}$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

${\displaystyle {R}\backslash \{0\}}$

• Obor hodnot funkce

${\displaystyle (0,\infty )}$

• Argument hyperbolického kosekans není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosekans je ${\displaystyle \operatorname {csch} (x)}$.

• Derivace:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

• Neurčitý integrál:

${\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C}$, kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta.

• Omezená zdola, klesající funkce
• Neperiodická funkce

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {arcsch} \,x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\operatorname {arcsch} \,x=0}$