Argument hyperbolického kosinu

Graf funkce argument hyperbolického kosinu

Argument hyperbolického kosinu je hyperbolometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {argcosh} x}$, někdy také ${\displaystyle \operatorname {arccosh} x}$ nebo ${\displaystyle \operatorname {ach} x}$, případně ${\displaystyle \operatorname {cosh} ^{-1}x}$.

Definice

Argument hyperbolického kosinu je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kosinu definovanému na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$. Platí ${\displaystyle \operatorname {argcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

${\displaystyle \langle 1,\infty )}$

• Obor hodnot funkce

${\displaystyle \langle 0,\infty )}$

• Argument hyperbolického kosinu není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kosinu je ${\displaystyle \cosh(x)}$ na intervalu ${\displaystyle \langle 0;\,\infty )}$.

• Derivace:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {argcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

• Neurčitý integrál:

${\displaystyle \int \operatorname {argcosh} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {argcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C}$, kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta.

• Zdola omezená, rostoucí funkce
• Neperiodická

Vzorce

• ${\displaystyle \operatorname {argcosh} \,(\mathrm {i} x)=\mathrm {i} \arccos x}$
• ${\displaystyle \ln \,x=\operatorname {argcosh} \,{\frac {x^{2}+1}{2x}}}$
• ${\displaystyle |\operatorname {argcosh} \,x+\operatorname {argcosh} \,y|=\operatorname {argcosh} \,\left(xy\pm {\sqrt {(x^{2}-1)(y^{2}-1)}}\right),\,x\geq 1,y\geq 1}$
• ${\displaystyle \operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argsinh} \,{\sqrt {x^{2}-1}},x\geq 1}$
• ${\displaystyle \operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argtanh} \,{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},x\geq 1}$
• ${\displaystyle \operatorname {argcosh} \,x=\operatorname {argcoth} \,{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}},x>1}$
• ${\displaystyle \operatorname {argcosh} \,x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)}$

Užití

• Výpočet ${\displaystyle x}$-ové souřadnice na řetězovce, známe-li ${\displaystyle y}$-ovou hodnotu (stavebnictví, architektura).
• Řešení kubické rovnice ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$ pro případ, že ${\displaystyle p<0}$ a diskriminant ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0}$ (rovnice má v tomto případě právě jedno reálné řešení). Pak ${\displaystyle x=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]}$.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Praha: Mladá fronta, 1996. ISBN 80-204-0607-7.