Argument hyperbolického kotangens

Argument hyperbolického kotangens je hyperbolometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {arcotanh} x}$ nebo ${\displaystyle \operatorname {arcotgh} x}$.

Definice

Argument hyperbolického kotangens je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému kotangens. Platí ${\displaystyle \operatorname {arcotgh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

${\displaystyle {R}\backslash \langle -1,1\rangle }$

• Obor hodnot funkce

${\displaystyle {R}\backslash \{0\}}$

• Argument hyperbolického kotangens je lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického kotangens je ${\displaystyle \operatorname {cotgh} (x)}$.

• Derivace:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcotgh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

• Neurčitý integrál:

${\displaystyle \int \operatorname {arcotgh} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {arcotgh} \,x+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-1)}$

• Neomezená, klesající funkce ve všech intervalech, ve kterých je spojitá
• Neperiodická funkce

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arcotgh} (x)\ =0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\operatorname {arcotgh} (x)\ =0}$