Argument hyperbolického sekans

Graf funkce argument hyperbolického sekans

Argument hyperbolického sekans je hyperbolometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {arsech} x}$.

Definice

Argument hyperbolického sekans je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému sekans definovanému na množině kladných reálných čísel. Platí ${\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

${\displaystyle (0,1\rangle }$

• Obor hodnot funkce

${\displaystyle \langle 0,\infty )}$

• Argument hyperbolického sekans není sudá ani lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického sekans je ${\displaystyle \operatorname {sech} (x)}$.

• Derivace:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

• Neurčitý integrál:

${\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {arsech} \,x+2\arcsin {\sqrt {\frac {x+1}{2}}}+C}$, kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta.

• Omezená zdola, klesající funkce
• Neperiodická funkce

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {arsech} \,x=\infty }$