Argument hyperbolického tangens

Argument hyperbolického tangens je hyperbolometrická funkce. Značí se ${\displaystyle \operatorname {artanh} x}$.

Definice

Argument hyperbolického tangens je definován jako funkce inverzní k hyperbolickému tangens. Platí ${\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$.

Vlastnosti

• Definiční obor funkce

${\displaystyle (-1;1)}$

• Obor hodnot funkce

${\displaystyle {R}}$

• Argument hyperbolického tangens je lichá funkce.

• Inverzní funkcí k argumentu hyperbolického tangens je ${\displaystyle \tanh(x)}$.

• Derivace:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}$

• Neurčitý integrál:

${\displaystyle \int \operatorname {artanh} \,x\mathrm {d} x=x\operatorname {artanh} \,x+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-1)}$

• Neomezená, rostoucí funkce
• Neperiodická funkce

${\displaystyle \lim _{x\to -1^{+}}\operatorname {artanh} (x)\ =-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\operatorname {artanh} (x)\ =\infty }$