Aritmetická posloupnost
Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference. Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností. Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.[1]
Vzorce
V následujících vzorcích označuje n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.
Rekurentní zadání
- známe některý člen a jeho index:
- známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu:
Zadání vzorcem pro n-tý člen
Vyjádření r-tého členu z s-tého
Součet prvních n členů
Odvození vzorce pro součet prvních n členů
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Animated_proof_for_the_formula_giving_the_sum_of_the_first_integers_1%2B2%2B...%2Bn.gif/220px-Animated_proof_for_the_formula_giving_the_sum_of_the_first_integers_1%2B2%2B...%2Bn.gif)
Součet prvních členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:
Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:
Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:
Historická souvislost
Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. Gaussovi (1777–1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je , druhý a předposlední člen je , atd.) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude , avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady .[2]
Příklad
Například je-li a , pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …
Souvislost s aritmetickým průměrem
Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:
Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).
Souvislost s geometrickou posloupností
Je-li posloupnost aritmetická, tak je posloupnost geometrická (pro libovolný základ b≥0).
Je-li posloupnost geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
Aritmetická řada
Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.
Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
- ,
kde kladné znaménko platí pro anebo a záporné pro anebo .
Pro je součet
Odkazy
Reference
- ↑ DLAB, Vlastimil. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů [online]. MFF UK [cit. 2015-03-17]. Dostupné online.
- ↑ ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 2. vyd. Prah: Prometheus, 2002. 126 s. ISBN 80-7196-195-7. S. 40–42.
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu aritmetická posloupnost na Wikimedia Commons
Média použitá na této stránce
Autor: Vincent Pantaloni, Licence: CC BY-SA 4.0
Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.
This formula is similar to the method for finding the area of a triangle (or 'a discrete step triangle' or 'stair-stepped triangle').