Aritmetika

Aritmetika (starořečtina ἀριθμητική , arithmētikḗ  - z ἀριθμός , arithmós „číslo“) je obor matematiky, který studuje čísla, jejich vztahy a vlastnosti. Předmětem aritmetiky je pojem čísla (přirozené, celé číslo, racionální, reálné, komplexní číslo) a jeho vlastnosti. Aritmetika se zabývá měřeními, operacemi s čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení), atd.

Teoretická aritmetika věnuje pozornost definici a analýze pojmu číslo. Formální aritmetika pracuje s logickými konstrukcemi predikátů a axiomů. Aritmetika je nejstarší ze základních matematických věd; úzce souvisí s algebrou, geometrií a teorií čísel.

Historie

Související informace naleznete také v článku Dějiny matematiky.

Nejstarší písemné záznamy naznačují, že Egypťané a Babyloňané používali základní aritmetické operace již v roce 2000 př. n. l. Hieroglyfický systém (egyptské číslice) a pozdější římské číslice se používali pro počítání. V obou případech byla používána desítková soustava, ale nebyla poziční. Poziční soustavy čísel používaly základ 60 pro babylonské číslice a základ 20, který definoval mayské číslice. Schopnost opětovného použití již definovaných číslic pro různé hodnoty přispěla k jednodušším a efektivnějším metodám výpočtu.[1]

Kontinuální historický vývoj moderní aritmetiky začíná u helénistické civilizace starověkého Řecka (vznikl však později než babylonské a egyptské příklady). Euklides shromáždil všechny znalosti té doby z matematiky. Jeho práce obsahuje nejen geometrii, ale jsou zde shrnuty všechny výsledky bádání z této doby v oblasti matematiky. Na vznik matematických pojmů a operací s nimi, působily praktické podněty (obchod, peněžnictví, zeměměřičství, mořeplavby, astronomie…).[2] Pythagoras ze Samu a jeho žáci velkou měrou přispěli k rozvoji aritmetiky, Pythagorejci prosazovali studium tzv. kvadrivia, které sestávalo z geometrie, aritmetiky, astronomie a hudby.

Ve středověku byla aritmetika podle novoplatonistů zařazena mezi sedm svobodných umění. Na základě praktického používání aritmetiky, měly význam přibližné výpočty iracionálních čísel, které byly nezbytné pro geometrické konstrukce. Aritmetika se vyvíjela v Indii a zemích islámu, odkud nejnovější úspěchy té doby v oblasti matematického myšlení pronikly do západní Evropy.

Potřebná znalost matematické symboliky nebyla ve středověku a v raném novověku dostačující pro praktické využití. Vznikaly různé předpisy pro výpočet. Toto pojetí se zachovalo až do přelomu středověku a novověku.

Pascaline - mechanické počítadlo

William Oughtred (1574–1660) používal x jako znak násobení, které někdy vynechával. Thomas Harriot (1560–1621) používal dnes běžné symboly pro „větší než“ (>) a „menší než“ (<), i malá písmena pro označení proměnné. Robert Recorde (1510–1558) zavedl znaménko rovná se (=). Zápis čtverce zavedl René Descartes (1596–1650).

Mechanický kalkulátor

Na začátku 17. století vynalezl John Napier logaritmy a Fermat poté oddělil teorii čísel do nezávislé větve aritmetiky. Pro numerické výpočty byly vynalezeny a široce používány různé typy nástrojů. Před renesancí to byly různé druhy abaků. Mezi novější patřily mechanické kalkulačky, např. Pascalova kalkulačka.

K axiometrickému vybudování aritmetiky dochází až v 19. století. Na Bolzanově pojmu množin, vybudoval Georg Cantor teorii kardinálních a ordinálních čísel. Na začátku 20. století Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teorie množin, která se stala mimo jiné i základem při výstavbě aritmetiky.[3]

Předmět aritmetiky

Giuseppe Peano v roce 1889

Aritmetika je nauka o číslech; zabývá se jejich definicí, způsoby zápisu a operacemi s nimi prováděnými. Giuseppe Peano v roce 1889 formuloval axiomy přirozených čísel. Na základě axiomatické teorie množin přirozených čísel jsou konstruovány další číselné množiny (celých čísel, reálných, komplexních čísel).

K hlavním operacím s čísly (sčítání, odčítání, násobení a dělení), lze přiřadit operace mocnění a odmocnění, i řešení rovnic. Seznam aritmetických operací historicky zahrnoval také dělení dvěma i dělení se zbytkem a hledání součtu aritmetických a geometrických řad.

V reálném životě jsou matematické výpočty a měření potřebné pro praktické účely (zlomky, procenta, trojčlenka) označovány jako praktická aritmetika, zatímco logická analýza pojmu čísla je označována jako teoretická aritmetika. Aritmetické operace, jako je umocňování a řešení kořenů rovnic jsou součástí algebry. V tomto ohledu je po Newtonovi a Gaussovi považována algebra za zobecnění aritmetiky. Neexistují jasné hranice mezi aritmetickou, elementární algebrou a teorií čísel.

Elementární aritmetika

Elementární aritmetika je matematická disciplína zabývající se počítáním s přirozenými, celými a racionálními čísly. Vyučuje se již na základní škole. Běžně používané základní operace elementární aritmetiky jsou sčítání, odečítání, násobení a dělení, ale do aritmetiky samozřejmě patří i další operace jako počítání s procenty, mocniny a odmocniny, exponenciální a logaritmické funkce.

Číselné obory

Související informace naleznete také v článcích Přirozené číslo, Celé číslo, Racionální číslo a Reálné číslo.

První písemné záznamy o přirozených číslech pocházejí z Mezopotámie a Egypta z období asi 3500 před n. l. Jako přirozená čísla označujeme čísla, která používáme k vyjádření počtu prvků konečných neprázdných množin (počtu osob, zvířat, předmětů apod.). Nulu začali používat v zápisech babylonští matematikové asi 2000 let před n. l., nezávisle na nich objevili nulu i Mayové. Do Evropy přinesl nulu Leonardo Pisánský (Fibonacci) - v díle Liber Abaci (Kniha o abaku) z roku 1202.[4]

Sčítání, násobení, umocňování

Související informace naleznete také v článcích Sčítání, násobení a umocňování.

Při sčítání (součet) a násobení (součin) přirozených čísel výsledek je číslo přirozené. Násobení (resp. opakované sčítání) přirozených čísel je také přirozené číslo. Analogicky s definicí násobení sčítáním lze vícenásobné násobení použít jako definici operaci umocňování. Lze říci, že množina přirozených čísel je uzavřená vzhledem k operaci sčítání a násobení, pro odčítání a dělení není uzavřená.

Základní zákony aritmetiky

Související informace naleznete také v článcích Komutativita, Asociativita a Distributivita.

Pro každé přirozené číslo platí:

  • věta o komutativnosti: sčítání: 2 + 3 = 3 + 2 = 5 (zamění-li se pořadí sčítanců, součet se nezmění); násobení: 5 . 4 = 4 . 5 = 20 (zamění-li se pořadí činitelů, součin se nezmění)
  • věta o asociativnosti: sčítání: (2 + 4) + 5 = 2 + (4 + 5) = 11 (změní-li se umístění závorek, součet se nezmění; násobení: (10 . 5) . 2 = 10 . (5 . 2) = 100 (změní-li se umístění závorek, součin se nezmění)
  • věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení: 10 . 1 = 10 (násobením čísla jedničkou se číslo nezmění
  • věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání : 5 . (2 + 3) = 5 . 2 + 5 . 3 = 25[5]

Kromě základních zákonů aritmetiky jsou pro přirozená čísla splněna i pravidla monotónnosti sčítání a násobení[6], zápis v algebraické formě:

a

Základní pravidla pro operaci umocňování vyplývají z její definice. V algebraické formě je lze psát následovně:

;

;

Odčítání, záporná čísla

Související informace naleznete také v článcích Odčítání, Kladné a záporné číslo a Celé číslo.

Odčítáním většího čísla od menšího vznikne záporné číslo. Poprvé se koncept záporných čísel objevil v Indii, byl interpretována jako „dluh“ (kladná čísla - „majetek“). Záporná čísla se rozšířila až v 17. století. Termín „odčítání“ vytvořil Boethius , termíny „odečteno“ a „zmenšený“ vytvořil Wolf v roce 1716, „rozdíl“ - Widman v roce 1489. Moderní označení se značkami „+“ a „-“ zavedl také Widmann na konci 15. století. Teprve v 18. století Leonhard Euler, Isaac Newton nebo René Descartes začali zavádět záporná čísla. Množina čísel, zahrnující přirozená čísla, nulu a záporná čísla je obor celých čísel.[4]

Vennův diagram zobrazení vztahu množin čísel

Dělení, racionální čísla

Související informace naleznete také v článcích Dělení, Desetinné číslo, Dělitelnost, Racionální číslo a Zlomek.

Při dělení přirozených čísel, často nebyl výsledek v oboru přirozených čísel. Např. 6 : 3 = 2, ale již 6 : 4 = 1,5 (resp. ). Byla zavedena nová čísla – zlomky, které se poprvé objevily už 3000 před n. l. v Mezopotámii a Egyptě. Zlomky společně s celými čísly tvoří množinu racionálních čísel, používají se k vyjádření počtu celků a jejich dílů, změn těchto počtů apod. Množina racionálních čísel je uzavřená pro předchozí čtyři operace.

Odmocnění, reálná čísla, komplexní čísla

Související informace naleznete také v článcích Reálné číslo a Komplexní číslo.

Odmocnit některá racionální čísla není problém, např.  ; ale V rozvoji se žádná skupina číslic neopakuje, nejedná se tedy o číslo racionální s periodickým rozvojem, ale o množinu čísel, které se nazývají iracionální. Kladná iracionální čísla se objevila okolo roku 300 před n. l. ve spisech Eukleida. Množina iracionálních čísel se označuje I a patří sem √2, √5, π atd. Množina, která obsahuje všechna přirozená, celá, racionální a iracionální čísla se nazývá množina reálných čísel, značí se R.

Odmocňování např. při řešení kvadratické rovnice ; její řešení vede na . Aby rovnice měla řešení, byla zavedena komplexní jednotka (platí ).

Komplexní jednotka je součástí imaginárního čísla (např. 4i), jehož označení pochází od René Descartesa. Komplexní číslo se zapisuje jako dvojčlen , v tomto zápisu se číslo nazývá reálná část, imaginární část komplexního čísla. Množina komplexních čísel se značí C.[4]

Ve starověkém Řecku (na příkladu výpočtu úhlopříčky čtverce - straně byla přiřazena hodnota 1), byly učiněny pokusy získat přesnou číselnou hodnotu dané úhlopříčky. Což se odrazilo v Euklidových „Počátcích“. Skutečná čísla se stala předmětem výzkumu až v 17.–18. století. Ve druhé polovině 19. století formulovali Dedekind, Cantor a Weierstrass své konstruktivní metody pro stanovení reálného počtu.

Formální aritmetika

Formální teorie aritmetiky je nedílnou součástí matematické logiky. Existuje mnoho formálních aritmetik, nejdůležitějšími jsou aritmetiky Presburgerova, Robinsonova a Peanova. Zkoumáním vlastností formálních aritmetik lze dosáhnout mnoha významných výsledků – jednoznačně nejslavnějším z nich jsou Gödelovy věty o neúplnosti.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Арифметика na ruské Wikipedii.

  1. FOLTA, Jaroslav. Dějiny matematiky [online]. Praha: 2004 [cit. 2021-03-11]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2021-04-17. 
  2. BEČVÁŘ, Jindřich. Hrdinský věk řecké matematiky. Historie matematiky I. 1994, s. 20–107. Dostupné online [cit. 2021-03-11]. 
  3. BALADA, František Z dějin elementární matematiky. Praha SPN 1959 [cit. 2021-03-14]
  4. a b c Číselné obory | Eduportál Techmania. edu.techmania.cz [online]. [cit. 2021-03-14]. Dostupné online. 
  5. ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2., (opr.). vyd. Brno: Didaktis 208 s. Dostupné online. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459 
  6. Arithmetic. Encyclopedia Britannica [online]. [cit. 2021-03-12]. Dostupné online. (anglicky) 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Giuseppe Peano.jpg
Giuseppe Peano, an Italian mathematician
Venn Diagram of Numbers-dty.svg
Autor: Daniele Pugliesi, Translated into Doteli by Janak Bhatta, Licence: CC BY-SA 4.0
Complex numbers (C) include the real (R), which include the rational (Q), which include the integers (Z), which include the natural numbers (N).
Mechanical-Calculator.png
Autor: unknown, Licence: CC BY-SA 3.0
Pascaline calculator.jpg

Photo of a 'Pascaline', the mechanical calculator invented and manufactured by French scientist Blaise Pascal around 1642. From the accompanying text: "The machine has been reversed, and the bottom of the casing, which is hinged, thrown back, showing the numeral wheels and gearing of the different orders, and the transfer levers for the carry of the tens." The gearing worked similarly to a car's odometer. Alterations: removed frame and figure number, rotated image to justify, and increased brightness.

Can anyone translate the handwritten card on it?