atan2

atan2 (někde arctg2) je funkce dostupná v mnoha programovacích jazycích, numerických knihovnách a nástrojích pro výpočty, kterou lze použít místo funkce arkus tangens a která významně usnadňuje převod z pravoúhlých souřadnic na polární a podobné úlohy. Funkce je definovaná pro všechny reálné hodnoty dvou parametrů, a v případech, kdy je výraz na pravé straně definován, platí

${\displaystyle atan2(y,x)=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$

Účel

Funkce atan2 řeší dva problémy, ke kterým by došlo při použití výrazu ${\displaystyle \operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$:

• Pokud je x nulové nebo velmi malé, při výpočtu y/x může dojít k chybě dělení nulou nebo přetečení; hodnota funkce atan2 je však ${\displaystyle +{\frac {\pi }{2}}}$ nebo ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$.
• Při převodu na polární souřadnice potřebujeme úhel v rozsahu celého kruhu, tj. ${\displaystyle 2\pi }$ nebo 360°, zatímco funkce arctg vrací hodnoty v intervalu ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$, neboli (-90°, 90°) – informace o znaménkách obou souřadnic se při použití jednoho parametru ztratí; proto je nutné po použití funkce arctg určovat správnou polorovinu případně kvadrant.

Definice

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ je funkce ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \langle 0;2\pi )}$ definovaná přepisem:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right),\ \ \ \ \ \ &{\mbox{je-li }}(x>0)\land (y>=0),\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi ,\ &{\mbox{je-li }}(x<0),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+2\pi ,&{\mbox{je-li }}(x>0)\land (y<0),\\{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{je-li }}(x=0)\land (y>0),\\{\frac {3}{2}}\pi ,&{\mbox{je-li }}(x=0)\land (y<0),\\\end{matrix}}\right.}$

kde arctg(x) je arkus tangens.

Striktně matematicky není hodnota ${\displaystyle \operatorname {atan2} (0,0)}$ definována (nulový vektor nemá definovanou orientaci); pro programování může být libovolná; obvykle se používá 0.

Jiná definice pomocí distribucí, konkrétně Heavisideovy skokové funkce ${\displaystyle \theta (x)}$:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi \theta (-x)+2\pi \theta (x)\theta (-y).}$

V programovacích jazycích je funkce atan2 definována tak, že vrací hodnoty v intervalu ${\displaystyle (-\pi ;\pi \rangle }$.

Užití

Pomocí takto definované funkce můžeme snadno zapsat např. přechod od kartézských souřadnic k polárním; bod o kartézských souřadnicích ${\displaystyle (x,y)}$ lze vyjádřit pomocí polárních souřadnic ${\displaystyle (r,\theta )}$ takto:

${\displaystyle x=r\cos {\varphi }\,}$

${\displaystyle y=r\sin {\varphi }\,}$

odtud

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left(y,x\right).}$

Funkci atan2(y,x) lze použít také pro přechod mezi kartézskou soustavou souřadnic a sférickou soustavou souřadnic, resp. válcovou soustavou souřadnic.

Obdobně, atan2(y,x) nám dává argument komplexního čísla x + iy.

Praktická poznámka

V programovacích jazycích (C, PHP, Java, JavaScript, ...) se vždy píše jako první parametr souřadnice y a jako druhý souřadnice x tj. tvar atan2(y, x).

Ale v tabulkových kalkulátorech (Microsoft Excel, LibreOffice Calc, apod.) bývá použit obrácený tvar tj. atan2(x, y)!

Odkazy

Související články

• Arkus tangens
• Ortogonální souřadnice
• Kartézská soustava souřadnic
• Polární soustava souřadnic
• Sférická soustava souřadnic
• Cyklometrická funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu atan2 na Wikimedia Commons