Autokorelace

Autokorelace náhodných složek je jev, kterým ve statistice označujeme porušení Gauss-Markovova požadavku pro možnost odhadu regresních parametrů metodou nejmenších čtverců.

Matice kovariancí ${\displaystyle \Sigma }$, která má při splnění nekorelovanosti náhodných složek tvar: ${\displaystyle \Sigma =\sigma ^{2}*I_{n}}$, při autokorelaci vykazuje nenulové kovariance (tedy nediagonální prvky jsou nenulové). Platí, že ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ je nám neznámý rozptyl náhodných složek a ${\displaystyle I_{n}}$ je jednotková matice řádu n.

Příčiny vzniku autokorelace

1. chybná specifikace modelu - tzv. kvaziautokorelace
2. přílišná aproximace v modelu (např. místo ${\displaystyle x^{2}}$ použijeme x apod.
3. použití časově zpožděných proměnných v modelu
4. zahrnutí chyb měření do vektoru u
5. použití upravených dat - např. extrapolovaných, centrovaných, interpolovaných apod.

Důsledky autokorelace

1. ztráta vydatnosti odhadu i asymptotické vydatnosti odhadu regresních parametrů
2. ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ i standardní chyby ${\displaystyle s_{b_{j}}}$ jsou vychýlené, R² je nadhodnoceno, zatímco t-testy jsou slabé a rezidua jsou podhodnocená

Autokorelace prvního řádu

Tzv. autoregresní struktura prvního řádu:

${\displaystyle u_{t}=\rho *u_{t-1}+\epsilon _{t}}$

zároveň platí následující vztah:

${\displaystyle E(u_{t}^{T}u_{s})=\rho ^{t-s}*\sigma ^{2}}$

kde ${\displaystyle \rho }$ je tzv. autokorelační koeficient prvního řádu. Platí pro něj ${\displaystyle \left|\rho \right|\leq 1}$, protože jinak by měla rovnice explozivní charakter a byla by tak narušena homoskedasticita v matici ${\displaystyle \Sigma }$. Nejsilnější korelace je vždy mezi dvěma sousedními vektory náhodných složek.

• Pokud je ${\displaystyle \rho >0}$, pak se jedná o pozitivní autokorelaci.
• Pokud je ${\displaystyle \rho <0}$, pak se jedná o negativní autokorelaci.
• Pokud je ${\displaystyle \rho =0}$, pak jsou složky vektorů ${\displaystyle u_{s}}$ a ${\displaystyle u_{t}}$ sériově nezávislé.

Testování výskytu autokorelace

Protože neznáme přesnou podobu vektoru náhodných složek u, pracujeme s vektory reziduí ${\displaystyle e_{i}}$.

Durbinova-Watsonova statistika

Předpoklady použití testu

1. úrovňová konstanta v modelu
2. regresory nejsou stochastické proměnné

Testovací statistika

${\displaystyle d={\frac {\sum _{t=2}^{T}(u_{t}-u_{t-1})^{2}}{\sum _{t=1}^{T}u_{t}^{2}}}}$

Pro výslednou charakteristiku nelze určit kritickou hodnotu, při které bychom odmítli hypotézu H₀ při testování proti d-statistice. Postup vyhodnocení je následující:

1. statistika d má střední hodnotu E(d) = 2 a nachází se v intervalu <0;4>
2. stanovíme tabulkové hodnoty d_D (dolní mez d) a d_H (horní mez d) podle stupňů volnosti modelu
3. porovnáme hodnotu d s následujícími intervaly a na základě pozice d vyhodnotíme autokorelaci:

• Interval <0;d_D> značí pozitivní autokorelaci
• V intervalu <d_D;d_H> nemůžeme rozhodnout, zda se jedná o korelaci, či nikoliv
• Interval <d_H;2> poukazuje na statisticky nevýznamnou pozitivní autokorelaci

• Interval <2;4-d_H> poukazuje na statisticky nevýznamnou negativní autokorelaci
• V intervalu <4-d_H;4-d_D> nemůžeme rozhodnout, zda se jedná o korelaci, či nikoliv
• Interval <4-d_D;4> poukazuje na statisticky významnou negativní autokorelaci

Durbinovo h

• použijeme právě tehdy, pokud se v modelu nachází zpožděná vysvětlovaná proměnná

Statistika h má následující podobu:

${\displaystyle h=(1-d/2){\sqrt {\frac {T}{1-Ts_{b_{j}}^{2}}}}}$, kde j značí j-tou vysvětlující zpožděnou proměnnou za podmínky, že ${\displaystyle s_{b_{j}}^{2}<1/T}$.

Statistiku h testujeme přes normované normální rozdělení N(0;1), kdy pro

• ${\displaystyle h<\left|U_{1-\alpha }\right|}$ předpokládáme sériovou nezávislost náhodných složek
• ${\displaystyle h\geq \left|U_{1-\alpha }\right|}$ usuzujeme na autokorelaci

Postup v případě identifikování autokorelace náhodných složek

1. ověřit správnost modelu (jestli se nejedná o kvaziautokorelaci)
2. logaritmování nebo semilogaritmování dat
3. transformace dat v matici pozorování X pomocí matice T - tzv. Praisova-Winstenova transformace

${\displaystyle T={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}*{\begin{pmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&\dots &0&0\\-\rho &1&\dots &0&0\\0&-\rho &1&\dots &0\\\vdots &0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &-\rho &1\\\end{pmatrix}}}$

což vyústí v následující podobu modelu, který již bude poskytovat při použití metody zobecněných nejmenších čtverců vydatné i asymptoticky vydatné odhady regresních parametrů:

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+\beta (X_{t}-\rho X_{t-1})+e_{t}.\,}$

Odkazy

Reference

• Cochrane a Orcutt. 1949. "Application of least squares regression to relationships containing autocorrelated error terms". Journal of the American Statistical Association 44, str. 32–61

Literatura

• Hušek, R. Ekonometrická analýza, Praha, 2007, nakladatelství Oeconomica, ISBN 978-80-245-1300-3