Axiom závislého výběru

Axiom závislého výběru (zkráceně (DC) – „dependent choice“) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je slabší verzí axiomu výběru.

Znění

Axiom závislého výběru lze vyslovit v kterékoli z běžně používaných axiomatizací teorie množin (ZF, NBG či KM) a to například takto:

Nechť X je množina a R binární relace na X splňující ${\displaystyle \,(\forall a\in X)\,(\exists b\in X)\,aRb}$. Pak existuje posloupnost ${\displaystyle \,(x_{n})_{n\in \omega }}$ prvků X, že ${\displaystyle \,x_{n}Rx_{n+1}}$ pro všechna ${\displaystyle \,n\in \omega }$.

Důsledky

Z (DC) vyplývá axiom spočetného výběru, a tedy i všechny jeho důsledky. Z (DC) neplyne existence neměřitelné množiny reálných čísel nebo množiny reálných čísel, která nemá Bairovu vlastnost.

Vztah k podobným axiomům

(DC) je důsledkem (obyčejného) axiomu výběru (AC), je ostře slabší (tj. (DC) neimplikuje (AC)). Naopak z (DC) vyplývá axiom spočetného výběru, který je ostře slabší než (DC).

Související články

• axiom silného výběru
• axiom úplného výběru
• axiom výběru
• axiom spočetného výběru