Banachův prostor

Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.

Definice

Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor ${\displaystyle V}$ nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou ${\displaystyle \|\cdot \|}$, ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ limitu.

Příklady

• Prostory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ eukleidovskou normou

${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}}$,

pro ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, budou dokonce Hilbertovy.

• Prostor všech spojitých funkcí ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ opatřený normou

${\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\max _{t\in [a,b]}|f(t)|}$

je Banachův.

• Vybavíme-li předchozí prostor normou

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{a}^{b}|f(t)|dt}$ nebo ${\displaystyle \|f\|_{2}:={\sqrt {\int _{a}^{b}|f(t)|^{2}dt}}}$,

Banachův již nebude.

• Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou

${\displaystyle \|A\|:=\sup\{\|Ax\|:x\in X,\|x\|\leq 1\}}$

je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě ${\displaystyle Y=\mathbb {C} }$.

Související články

• Hilbertův prostor
• Lebesgueovy prostory

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Banachův prostor na Wikimedia Commons