Bayesova věta

Ilustrace pomocí dvou spojených třídimenzionálních stromových diagramů Bayesovy věty

Bayesova věta (alternativně Bayesova formule, Bayesův vzorec) je věta teorie pravděpodobnosti, která udává, jak podmíněná pravděpodobnost nějakého jevu souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností.[1] Poprvé na tuto souvislost upozornil anglický duchovní Thomas Bayes (1702–1761) v posmrtně vydaném článku An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Roku 1774 větu znovu objevil francouzský matematik a fyzik Pierre-Simon Laplace, nicméně postupně upadla v zapomnění a rozšířila se až v 2. polovině 20. století.[2] Frekvenční interpretace pravděpodobnosti se poté nazývá klasická či Laplaceova, právě podle Pierre-Simona Laplace.

Jedno z mnoha použití Bayesovy věty je v oblasti statistické inference (konkrétně Bayesova inference). Věta taktéž položila základy relativně novému směru statistiky – Bayesovská statistika.[3]

Znění věty

Nechť a jsou náhodné jevy a . Potom platí

.

Důkaz

Důkaz věty vychází z definice podmíněné pravděpodobnosti:

, pokud . Symetricky , pokud .

Vyjádřením pravděpodobnosti průniku v obou rovnicích získáváme . Vyjádřením obdržíme Bayesovu formuli:

, pokud .

Alternativní formy Bayesovy věty

Pro všechny alternativní formy Bayesovy věty uvažujme nenulovost jmenovatele.

Rozšířené znění

Mějme náhodné jevy a , pro . Nechť jsou jevy po dvou disjunktní pro každé a nechť tvoří celý pravděpodobnostní prostor, tedy . Potom platí

.

Využití doplňku

Při počítání s Bayesovou formulí je výhodné znát následující úpravu, jelikož nemusíme znát pravděpodobnost náhodných jevů, nýbrž pouze jejich pravděpodobnosti podmíněné.

Tato formule spočívá ve vhodné úpravě jmenovatele, tedy

, kde využíváme vztahu .

Po dosazení do původní věty dostáváme

.[4]

Rodělení doplňku

Tato forma Bayesovy věty vychází z předpokladu Bayesovy věty, tedy že platí . Lze ale vyjádřit pravděpodobnost -tého členu . Tedy získáváme upravenou verzi Bayesovy věty využívající doplněk. Pro rozložení podmíněné pravděpodobnosti na pravé straně rovnice lze využít větu o úplné pravděpodobnosti.

Mějme neslučitelné náhodné jevy , kde takové, že pro ně platí . Pak platí

.[5]

Verzi věty lze z konečného počtu náhodných jevů rozšířit i na nekonečně spočetně jevů.

Přidání historie

Přidání jednoho prvku

Formu, která bere v potaz historii, lze odvodit zavedením substituce a dosazení do znění Bayesovy věty. Získáváme tedy

, z čehož získáváme vzorec
, ze kterého přeznačením (pro konzistenci) získáváme formu Bayesovy věty zobecňující prvek historie v následující podobě:
.

Přidání více prvků

Obdobným způsobem lze přidat konečně mnoho prvků historie , respektive i nekonečně spočetně. Můžeme definovat pomocí součtů jako (respektive ).

Tato forma Bayesovy věty může být užitečná, pokud v příkladu testování na drogy budu mít více testovaných lidí, pak obecně označíme výsledek -tého testu, tedy pokud byl první test pozitivní, výsledek do historie zaneseme například jako , pokud by byl negativní, pak bychom položili .

Výsledná forma zobecňující všechny výsledky má podobu

.

Šancová forma Bayesovy věty

Z definice šance lze odvodit vzorec poměrů pravděpodobností , který má tvar

, tedy slovně aposteriorní šance hypotézy proti hypotéze je rovna součinu apriorní šance hypotézy proti hypotéze a poměru věrohodností hypotézy proti hypotéze .

Bayesova věta pro spojité náhodné vektory

Bayesovu větu lze popsat i pomocí hustoty spojitých náhodných vektorů a . Tedy podmíněná hustota spojitého náhodného vektoru vzhledem k je rovna

Podobu Bayesovy věty pro spojité náhodné vektory lze odvodit dosazením vztahu do vztahu podmíněné hustoty vzhledem k , tedy .[6]

Příklady použití

Testování na drogy

Nyní si ukažme příklad použití Bayesova pravidla při testování na drogy. Vyjdeme z předpokladů, že test na prokázání drog má senzitivitu 99 % a specificitu 99 %. Test se na první pohled zdá být docela přesný, ale pomocí Bayesovy věty lze ukázat, že netriviální procento testovaných může být nesprávně označeno za uživatele drog. Nechť je v testovaném podniku prevalence 0,5 %, tj. 0,5 % ze zaměstnanců drogy opravdu užívá.

Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem drogy opravdu používá?

Označme si uživatele drog jako "A", "N" všechny ostatní. Nechť "+" znamená pozitivní test. Popišme si následující veličiny:

  • pravděpodobnost, že osoba je uživatelem drog (prevalence), tj.
  • pravděpodobnost, že osoba není uživatelem drog; zjistíme pomocí doplňkového jevu, tzn.
  • pravděpodobnost, že test je pozitivní, když je osoba uživatelem drog; jinými slovy sensitivita testu:
  • je pravděpodobnost, že test bude pozitivní, i přesto, že osoba není uživatelem drog; lze interpretovat jako doplněk k specificitě testu:
  • je pravděpodobnost, že test bude pozitivní.

Pravděpodobnost sice zadanou nemáme, ale lze ji vypočítat dle výše zmíněné formule:

Po dosazení dostáváme výsledek 1,49 %:

Díky těmto údajům můžeme vypočítat žádanou pravděpodobnost pomocí Bayesovy věty:

Všimněme si, že i přes vysokou specificitu a senzitivitu je výsledek testu poměrně nepřesný. U zaměstnance podniku s pozitivním testem je jen 33% pravděpodobnost, že je skutečně uživatelem drog.

Specificita a senzitivita

Senzitivita testu (také citlivost testu) nám udává úspěšnost, s níž test zachytí přítomnost sledovaného stavu (nemoci) u daného subjektu. V našem příkladu to znamená, že test správně identifikuje skutečné uživatele drog v 99 % případů.

Specificita testu nám vyjadřuje úspěšnost, s níž test určí případy, u nichž zkoumaný stav (nemoc) nenastává. 99% specificita testu znamená, že test s 99% pravděpodobností správně vyloučí osobu, která drogy nepoužívá.

Odkazy

Reference

  1. OBERHELMAN, David D. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Reference Reviews. 2001-06-01, roč. 15, čís. 6, s. 9–9. ISSN 0950-4125. DOI 10.1108/rr.2001.15.6.9.311. (anglicky) 
  2. A History of Bayes' Theorem. www.lesswrong.com [online]. lesswrong.com, 2011-08-29 [cit. 2024-02-19]. Dostupné online. (anglicky) 
  3. BERNARDO, José M.; SMITH, Adrian F. M. Bayesian Theory. Hoboken: John Wiley & Sons, Ltd., 2009. ISBN 9780470317716, ISBN 047031771X. (anglicky) 
  4. BAZETT, Trefor. Introduction to Bayes’ Theorem. Cham: Springer International Publishing Dostupné online. ISBN 978-3-030-95792-6. 
  5. HRON, Karel; KUNDEROVÁ, Pavla; VENCÁLEK, Ondřej. Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky. Redakce Tereza Vintrová. 4., doplněné vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2021. 346 s. ISBN 978-80-244-5990-5. Kapitola Podmíněná pravděpodobnost, s. 37–38. 
  6. HRON, Karel; KUNDEROVÁ, Pavla; VENCÁLEK, Ondřej. Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky. Redakce Tereza Vintrová. 4., doplněné vyd. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2021. 346 s. ISBN 978-80-244-5990-5. Kapitola Podmíněné rozdělení, s. 125. 

Související články

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Bayes' Theorem 3Dv2.png
Autor: Qniemiec, Licence: CC0
Illustration of Bayes' Theorem by two joined 3-dimensional tree diagrams