Bernoulliho polynom

Bernoulliho polynomy je v matematice posloupnost polynomů pojmenovaných po Jacobu Bernoullim, které kombinují Bernoulliho čísla a binomické koeficienty. Používají se pro rozvoj funkcí na řady a s Eulerovým–Maclaurinovým vzorcem.

Bernoulliho polynomy se objevují při studiu mnoha speciálních funkcí, např. Riemannovy funkce zeta a Hurwitzovy funkce zeta. Tvoří Appellovu posloupnost (tj. Shefferovu posloupnost pro operátor obyčejné derivace). U Bernoulliho polynomů počet průsečíků s osou x v jednotkovém intervalu neroste se stupněm polynomu. V limitě se blíží funkcím sinus a kosinus (jsou-li vhodným způsobem zvětšeny).

Bernoulliho polynomy

Podobnou množinou polynomů založených na vytvořující funkci, je rodina Eulerových polynomů.

Reprezentace

Bernoulliho polynomy Bn lze definovat mnoha různými způsoby, jedním z nich je použitím vytvořující funkce.

Vytvořující funkce

Vytvořující funkce pro Bernoulliho polynomy je

Vytvořující funkce pro Eulerovy polynomy je

Explicitní vzorec

pro n ≥ 0, kde Bk jsou Bernoulliho čísla, a Ek jsou Eulerova čísla.

Reprezentace diferenciálním operátorem

Bernoulliho polynomy lze také vyjádřit vztahem

kde D = d/dx je operátor derivace podle x a výraz pod zlomkovou čarou je vyjádřen jako rozvoj formální mocninné řady. Odtud plyne, že

srovnejte s integrály níže. Stejným způsbem lze zapsat Eulerovy polynomy:

Reprezentace integrálním operátorem

Bernoulliho polynomy jsou také jednoznačné polynomy určené vztahem

Integrální transformace

na polynomy f dává

což lze použít pro získání inverzního vzorce uvedeného níže.

Jiný explicitní vzorec

Explicitní vzorec pro Bernoulliho polynomy je

Což je řada podobná Hurwitzově funkci zeta v komplexní rovině. Skutečně existuje vztah

kde ζ(sq) je Hurwitzova funkce zeta. Ta zobecňuje Bernoulliho polynomy na jiné než celé hodnoty n.

Vnitřní součet může být chápán jako n-tá dopředná diference výrazu xm, čili

kde Δ je dopředný diferenční operátor. Je tedy možné psát

Tento vzorec může být odvozen z identity uvedené výše: Protože pro dopředný diferenční operátor Δ platí

kde D je derivace podle x, z Mercatorovy řady vyplývá:

Pokud je aplikována na polynom m-tého stupně, jako např. xm, můžeme nechat n jít od 0 pouze do m.

Integrální reprezentaci Bernoulliho polynomů popisuje Nörlundův-Riceův integrál, což vyplývá z vyjádření pomocí konečného rozdílu.

Explicitní vzorec pro Eulerovy polynomy popisuje vztah

Výše uvedený vzorec lze odvodit obdobně, pomocí faktu, že

Součty p-tých mocnin

Podrobnější informace naleznete v článku Faulhaberův vzorec.

Užitím výše uvedené integrální reprezentace nebo identity dostáváme

(pokud předpokládáme, že 00 = 1).

Bernoulliho a Eulerova čísla

Bernoulliho čísla jsou hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 0:

Tato definice dává pro .

Alternativní konvence definuje Bernoulliho čísla jako hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 1:

Tyto dvě konvence se liší pouze pro , protože .

Eulerova čísla jsou dána vztahem

Explicitní výrazy pro nízký stupňů

Několik prvních Bernoulliho polynomů je:

Několik prvních Eulerových polynomů je:

Maxima a minima

Pro vyšší n se množství změn v Bn(x) mezi x = 0 a x = 1 zvětšuje. Například

což ukazuje, že hodnota v x = 0 (a v x = 1) je −3617/510 ≈ −7.09, zatímco pro x = 1/2, hodnota je 118518239/3342336 ≈ +7.09. D.H. Lehmer ukázal, že pro maximální hodnotu Bn(x) mezi 0 a 1 platí[1]

pokud n není 2 modulo 4, kdy je

(kde je Riemannova funkce zeta). Pro minimální hodnotu platí

pokud n není 0 modulo 4, kdy je

Tyto meze jsou docela blízko skutečným maximům a minimům. Lehmer udává i přesnější meze.

Diference a derivace

Bernoulliho a Eulerovy polynomy vyhovují mnoha vztahům z umbralního počtu:

(Δ je dopředný diferenční operátor). Také,

Tyto posloupnosti polynomů jsou Appellovými posloupnostmi:

Převody

Tyto identity jsou také ekvivalentní s tvrzením, že obě posloupnosti polynomů jsou Appellovou posloupností. (Jiným příkladem jsou Hermitovy polynomy.)

Symetrie

Zhi-Wei Sun a Hao Pan ukázali překvapivý vztah symetrie: Pokud r + s + t = n a x + y + z = 1, pak[2]

kde

Fourierova řada

Fourierova řada Bernoulliho polynomů je také Dirichletova řada, vzhledem k rozvoji

Všimněte si, že pro velké n tento výraz konverguje ke vhodně škalovaným trigonometrickým funkcím.

To je speciální případ analogického tvaru Hurwitzovy funkce zeta

Tento rozvoj je platný pouze pro 0 ≤ x ≤ 1, když n ≥ 2 a je pro 0 < x < 1, když n = 1.

Je možné také spočítat Fourierovu řadu pro Eulerovy polynomy. Pokud definujeme funkce

a

pro , pak Eulerův polynom má Fourierovu řadu

a

Všimněte si, že je lichá a sudá:

a

Jsou příbuzné s Legendrovou funkcí chí jako

a

Inverze

Bernoulliho a Eulerovy polynomy je možné invertovat pro vyjádření monomů pomocí polynomů.

Konkrétně z výše uvedené části o integrálních operátorech zjevně plyne, že

a

Vztah s klesajícím faktoriálem

Bernoulliho polynomy je možné vyjádřit rozvojem na členy klesajícího faktoriálu jako

kde a

označuje Stirlingovo číslo druhého druhu. Výše uvedený vztah může být invertován, aby se klesající faktoriál vyjadřil pomocí Bernoulliho polynomů:

kde

označuje Stirlingovo číslo prvního druhu.

Věty o násobení

Věty násobení objevil Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:

Pro přirozené číslo m≥1,

Integrály

Dva určité integrály, které ukazují vztah Bernoulliho a Eulerových polynomů k Bernoulliho a Eulerovým číslům jsou:[3]

Další integrální vzorec je[4]

se speciálním případem pro

Periodické Bernoulliho polynomy

Periodický Bernoulliho polynom Pn(x) je Bernoulliho polynom vyčíslený v desetinné části argumentu x. Tyto funkce se objevují jako zbytkový člen v Eulerově–Maclaurinově vzorci, který vyjadřuje vztah mezi sumami a integrály. První polynom je pilovitá funkce.

Tyto funkce ve skutečnosti nejsou polynomy a správně by se měly nazývat periodické Bernoulliho funkce, přičemž P0(x) dokonce ani není funkce, je to derivace pilovité funkce, která tvoří Diracův hřeben.

Zajímavé jsou následující vlastnosti, platné pro všechna :

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernoulli polynomials na anglické Wikipedii.

Literatura

  • ABRAMOWITZ, Milton; STEGUN, Irene A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. 10. vyd. Dover, New York: National Bureau od Standards, prosinec 1972. (Applies Mathematics series). Dostupné online. Kapitola 23. 
  • APOSTOL, Tom M., 1976. Introduction to analytic number theory. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. (Undergraduate Texts in Mathematics). ISBN 978-0-387-90163-3. Kapitola 12.11. 
  • DILCHER, K. Bernoulli and Euler Polynomials. In: NIST Handbook of Mathematical Functions. [s.l.]: Cambridge University Press ISBN 978-0-521-19225-5. 24.
  • CVIJOVIĆ, Djurdje; KLINOWSKI, Jacek, 1995. New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments. Proceedings of the American Mathematical Society. Roč. 123, čís. 5, s. 1527–1535. DOI 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0. JSTOR 2161144. 
  • GUILLERA, Jesus; SONDOW, Jonathan, 2008. Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent. The Ramanujan Journal. Roč. 16, čís. 3, s. 247–270. DOI 10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID 14910435. arXiv math.NT/0506319.  (Recenze vztahu k Hurwitzově funkci zeta a Lerchově transcendentu.)
  • Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan, 2007. Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press. (Cambridge tracts in advanced mathematics). Dostupné online. ISBN 978-0-521-84903-6. S. 495–519. 
  • LEHMER, D. H., 1940. On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials. American Mathematical Monthly. Čís. 47, s. 533–538. Dostupné online. 
  • Zhi-Wei Sun; Hao Pan, 2006. Identities concerning Bernoulli and Euler polynomials. Acta Arithmetica. Roč. 125, čís. 1, s. 21–39. DOI 10.4064/aa125-1-3. S2CID 10841415. Bibcode 2006AcAri.125...21S. arXiv math/0409035. 
  • Takashi Agoh; Karl Dilcher, 2011. Integrals of products of Bernoulli polynomials. Journal of Mathematical Analysis and Applications. Roč. 381, s. 10–16. DOI 10.1016/j.jmaa.2011.03.061. 
  • Elaissaoui, Lahoucine; Guennoun, Zine El Abidine, 2017. Evaluation of log-tangent integrals by series involving ζ(2n+1). Integral Transforms and Special Functions. Roč. 28, čís. 6, s. 460–475. Dostupné online. DOI 10.1080/10652469.2017.1312366. S2CID 119132354. arXiv 1611.01274. (English) 

Související články

  • Bernoulliho číslo
  • Bernoulliho polynomy druhého druhu
  • Stirlingův polynom
  • Polynomiální výpočet součtu mocnin v aritmetice progresí

Externí odkazy

Média použitá na této stránce

Bernoulli polynomials.svg
Autor: Původně soubor načetl Linas na projektu Wikipedie v jazyce angličtina, Licence: CC BY-SA 3.0
Graph of the Bernoulli polynomials.

Original artwork by Linas Vepstas <linas@linas.org>

A version with the title removed is available as File:Bernoulli polynomials no title.svg.

Image generation info

Created with gnuplot using the directions

set term svg
set out 'Bernoulli_polynomials.svg'

set data style lines
set key top right
set xzeroaxis linetype -1 linewidth 2
set yzeroaxis linetype -1 linewidth 2
set xtics axis
set ytics axis

# set xrange [-0.5:1.5] 
set xrange [0:1]
unset border

set title "Bernoulli polynomials"

plot (x - 1.0/2.0) title "B_1" with lines linewidth 2, \
   (x*x - x + 1.0/6.0) title "B_2" with lines linewidth 2, \
   (x**3 - 3.0*x*x/2.0+x/2.0) title "B_3" with lines linewidth 2, \
   (x**4 - 2.0*x**3 + x*x - 1.0/30) title "B_4" with lines linewidth 2, \
   (x**5 - 5.0*(x**4)/2.0 + 5.0*(x**3)/3.0 - x/6.0) title "B_5" with lines linewidth 2, \
   (x**6 - 3.0*(x**5) + 5.0*(x**4)/2.0 - (x*x)/2.0 + 1.0/42.0) title "B_6" with lines linewidth 2
.