Bernsteinův polynom

V teorii numerické matematiky je Bernsteinův polynom, nebo také polynom v Bernsteinově tvaru, polynomem, který je lineární kombinací Bernsteinových bázových polynomů.

Numericky stabilní cestou k výpočtu Bernsteinových polynomů je tzv. Algoritmus de Casteljau.

Polynomy v Bernsteinově tvaru byly poprvé použity v konstrukčním důkaze Stoneovy–Weierstrassovy aproximační věty. S rozvojem počítačové grafiky se Bernsteinovy polynomy omezené na intervalu staly důležitými ve formě Beziérových křivek.

Definice

n+1 Bernsteinových bázových polynomů stupně je definováno vztahem

kde je binomický koeficient.

Bernsteinovy bázové polynomy stupně tvoří bázi vektorového prostoru polynomů stupně .
Lineární kombinace Bernsteinových bázových polynomů

se nazývá Bernsteinův polynom, neboli polynom v Bernsteinově tvaru stupně . Koeficienty jsou nazývány Bernsteinovy koeficienty, nebo také Beziérovy koeficienty.

Vlastnosti

Rozklad jednotky

Báze tvořená Bernsteinovými polynomy tvoří rozklad jednotky na intervalu .

Symetrie

V bázi tvořené Bernsteinovými polynomy existují vždy symetrické polynomy.

Důkaz:

Z vlastností kombinačních čísel vyplývá:

Nyní stačí upravit předchozí rovnici a získáme že:

Rekurence

Bernsteinovy polynomy jsou rekurentní. To znamená že Bernsteinův polynom lze definovat použitím polynomu nižšího řádu.


Derivace

Lokální maximum

Na intervalu je maximum v bodě .

Důkaz: Maximum najdeme skrze derivaci:

Nyní můžeme nahlédnout, že pro body nezískáme nulovou derivaci. Proto zbývá pouze činitel v závorce, který můžeme položit nule.

Že tento bod leží na intervalu vyplývá z nerovnosti .

Příklad

Prvních několik Bernsteinových bázových polynomů vypadá takto:






Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bernstein_polynomial na anglické Wikipedii.

Externí odkazy