Bez újmy na obecnosti

Bez újmy na obecnosti (BÚNO) je v matematice ustálený obrat používaný zejména v důkazech. Obvykle je používán v situacích, kdy se důkaz rozpadá na několik případů, které lze dokázat stejným či obdobným způsobem (například díky symetrii), a mluvčí touto frází dává najevo, že když si vybere a dokáže jeden z nich, dokáže tím vlastně zároveň i všechny ostatní a tím dokončí i důkaz jako celek.

Příklad

Bolzanova věta z reálné analýzy říká, že je-li funkce ${\displaystyle f(x)}$ spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a ${\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0}$, pak existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle c\in (a,b)}$ takový, že ${\displaystyle f(c)=0}$.

Důkaz může začínat:

Z ${\displaystyle f(a)}$ · ${\displaystyle f(b)<0}$ vyplývá, že ${\displaystyle f(a)}$ a ${\displaystyle f(b)}$ jsou nenulové a mají opačná znaménka. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že ${\displaystyle f(a)<0}$ a ${\displaystyle f(b)>0}$.....

a následuje už jen důkaz tohoto případu. Je totiž zjevné, že v druhém případě stačí takový důkaz aplikovat na funkci ${\displaystyle -f}$, která je rovněž spojitá na daném intervalu, nabývá hodnoty nula ve stejných bodech a splňuje ${\displaystyle f(a)<0}$ a ${\displaystyle f(b)>0}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ohne Beschränkung der Allgemeinheit na německé Wikipedii.