Binomická věta

Ilustrace binomické věty pro n=2

Binomická věta je důležitá matematická věta, díky které můžeme n-tou mocninu dvou sčítanců rozložit na součet n+1 sčítanců. Věta vychází z kombinatoriky, dnes se používá například k dokazování ve fyzice. Nejjednodušší verze vypadá takto:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad }$

Pokud je n přirozené číslo, tak následující kombinační čísla:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

jsou takzvané binomické koeficienty Pascalova trojúhelníku. Číslo n! je faktoriál čísla n.

Příklady

Ilustrace binomické věty pro n=3

Příklady binomické věty pro n = 2, n = 3 a n = 4:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}$

${\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}$

Na některých středních (základních) školách se zpaměti učí tyto příklady binomické věty jako předem dané „vzorečky“ pro výpočet mnohočlenů.

Důkaz

Použijeme matematickou indukci. Když n = 0, rovnost platí:

${\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}$

Pro indukční krok budeme předpokládat, že věta platí pro exponent m. Pak pro ${\displaystyle n=m+1}$:

${\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}$

z indukčního předpokladu:

${\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}$

násobení přes ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

vyjmutí ${\displaystyle k=0}$ ze sumy:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}$

substituce ${\displaystyle j=k-1}$:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}$

vyjmutí ${\displaystyle k=m+1}$ ze sumy:

${\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}}$

složení dvou sum:

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m-k+1}b^{k}}$

z Pascalova pravidla:

${\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m-k+1}b^{k}}$

přidání ${\displaystyle m+1}$ mocnin do výrazu:

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m-k+1}b^{k}}$ .

Q.E.D.

Zobecnění binomické věty

Binomickou větu lze zobecnit i na případ, kdy není závorka umocňována na přirozené číslo. I v tomto případě můžeme psát:

${\displaystyle (1+z)^{w}={w \choose 0}+{w \choose 1}z+{w \choose 2}z^{2}+{w \choose 3}z^{3}+\cdots }$

Kde ${\displaystyle w,\,z}$ jsou obecně komplexní čísla. Případně s rozepsáním definice kombinačního čísla:

${\displaystyle (1+z)^{w}=1+wz+{\frac {w(w-1)}{2}}z^{2}+{\frac {w(w-1)(w-2)}{6}}z^{3}+\cdots }$

Tyto mocninné řady konvergují obecně jen pokud je ${\displaystyle |z|<1}$.

Speciálně pro ${\displaystyle z=-x}$ a ${\displaystyle w=-1}$ dostáváme součet geometrické řady:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\cdots }$

Případně pokud je ${\displaystyle z=-x^{2}}$ a ${\displaystyle w=-{\frac {1}{2}}}$, pak obdržíme tuto řadu:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\cdots }$

Která po integraci přejde na řadu pro ${\displaystyle \arcsin x}$:

${\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$

Speciálně např. když dosadíme ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$, dostaneme docela dobře konvergující řadu pro ${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$. Pomocí této řady bylo v historii v ruce vypočteno Ludolfovo číslo asi na sto míst.

Obdobně, pokud bychom položili ${\displaystyle z=x^{2}}$ a ${\displaystyle w=-1}$, dostali bychom integrací této řady řadu pro ${\displaystyle \operatorname {arctg} \;x}$, která taktéž umožňuje vypočítat číslo ${\displaystyle \pi }$.

Odkazy

Související články

• Binomické rozdělení
• Multinomická věta
• Pascalův trojúhelník
• Leibnizovo pravidlo

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu binomická věta na Wikimedia Commons
• Binomická věta v encyklopedii MathWorld (anglicky)