Binomické rozdělení

Binomické rozdělení (někdy též Bernoulliho schéma) popisuje četnost výskytu náhodného jevu v ${\displaystyle n}$ nezávislých pokusech, v nichž má jev stále stejnou pravděpodobnost. Pokud speciálně ${\displaystyle n=1}$, jde o alternativní rozdělení.

V matematických textech se můžeme setkat s označením ${\displaystyle X}$ ~ ${\displaystyle Bi(n,p)}$ (někde také jako ${\displaystyle B(n,p)}$), kde ${\displaystyle n}$ udává počet pokusů a ${\displaystyle p}$ udává pravděpodobnost daného jevu.

Rozdělení pravděpodobnosti

Diskrétní náhodná veličina ${\displaystyle X}$ s binomickým rozdělením může nabývat celočíselných hodnot od nuly po ${\displaystyle n}$.

Pravděpodobnost, že jev nastane právě ${\displaystyle x}$-krát z ${\displaystyle n}$ pokusů při pravděpodobnosti jevu ${\displaystyle p}$, je určena rozdělením

${\displaystyle P[X=x]={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x},}$

kde ${\displaystyle {n \choose x}}$ je kombinační číslo.

Charakteristiky rozdělení

Binomické rozdělení lze také popsat některými charakteristikami.

Střední hodnota binomického rozdělení je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=np}$

Rozptyl je

${\displaystyle \operatorname {D} (X)=np(1-p)}$

Pro koeficient šikmosti dostáváme

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}$

Koeficient špičatosti binomického rozdělení má hodnotu

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}$

Momentovou vytvořující funkci lze zapsat ve tvaru

${\displaystyle m(z)={\left[p\mathrm {e} ^{z}+(1-p)\right]}^{n}}$

Příklady

• Jaká je pravděpodobnost, že při 5 vrzích kostkou padne právě 2× číslo 1?

${\displaystyle n=5,\,x=2,\,p=1/6}$

${\displaystyle p_{2}={5 \choose 2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\left(1-{\frac {1}{6}}\right)^{(5-2)}\approx 0{,}16=16\ \%}$

• Pro ${\displaystyle n\to \infty }$ a malé pravděpodobnosti, tzn. ${\displaystyle p\to 0}$, přechází binomické rozdělení v rozdělení Poissonovo.
• Pro ${\displaystyle p}$ blízké ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ lze binomické rozdělení již od ${\displaystyle n}$ v řádu několika desítek velmi dobře aproximovat normálním rozdělením.
• Platí dokonce, že Binomické rozdělení ${\displaystyle Bi(n,p)}$ lze aproximovat normálním rozdělením ${\displaystyle N(\mu =np,\sigma ^{2}=np(1-p))}$ pro dostatečně velká ${\displaystyle n}$. Důkaz viz odkazy.

Odkazy

Související články

• Bernoulliho schéma
• Poissonovo rozdělení
• Multinomické rozdělení
• Binomická věta – podobný vzorec, ale pro n-tou mocninu dvou sčítanců

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu binomické rozdělení na Wikimedia Commons
• Online kalkulátor Binomického rozdělení
• Důkaz konvergence binomického rozdělení k Normálnímu na stránkách wolframu