Bod

Bod je bezrozměrný základní geometrický útvar. Jde tedy o abstraktní útvar bez velikosti, s konkrétní pozicí v prostoru. Pozice bodu je vztažena k soustavě souřadnic. Bezrozměrné body jsou využívány k definici křivky v jednorozměrném prostoru, plochy v dvourozměrném prostoru a dalších objektů vyšších dimenzí. Bod může být určen jako průsečík dvou křivek nebo tří rovin, tedy jako vrchol geometrického útvaru. V analytické geometrii je bod definován souřadnicemi (uspořádanou n-ticí) ve zvolené soustavě souřadnic. Body mohou tvořit množinu bodů. Izolovaný bod je takový, který v jistém okolí nemá body ze stejné množiny bodů.

Eukleidovská geometrie definuje bod jako primitivum, tedy „něco, co nemá části“ nelze to již dále dělit. Bod je v ní definován axiomem, který se nedokazuje a nepoužívá pro svou definici jiná primitiva.

Bod časoprostoru se nazývá událost.

Všechny geometrické útvary jsou definovány jako množina bodů, zpravidla nekonečně velká (pouze samotný bod je jednoprvková množina). Takovou definicí je např. „množina všech bodů v rovině R ležících ve vzdálenosti r od bodu S“ (definice kružnice o poloměru r se středem S).

Dva body mohou být shodné (tj. mají všechny souřadnice stejné), nebo rozdílné (alespoň v jedné souřadnici se liší). Z rozdílu souřadnic dvou bodů vyplývá jejich vzdálenost.

Za bod lze také považovat úsečku nulové délky (její krajní body jsou shodné).

Graficky se bod znázorňuje křížkem, malým kolečkem, kroužkem nebo čárkou (pokud leží na úsečce, přímce či křivce). Označuje se velkým tiskacím písmenem.

Algebraicky je každý bod pevně určen ${\displaystyle N}$ souřadnicemi, kde ${\displaystyle N}$ je rozměr prostoru, ve kterém se nachází. Například v dvojrozměrném prostoru (tedy v ploše) je bod určen dvěma souřadnicemi, v trojrozměrném prostoru je bod pevně dán třemi souřadnicemi. Například v kartézské soustavě souřadnic je bod ${\displaystyle A[2;3]}$ v rovině, bod ${\displaystyle X[3;-4;0]}$ v prostoru.

Vzdálenost dvou bodů ${\displaystyle A[x_{a};y_{a}]}$ a ${\displaystyle B[x_{b};y_{b}]}$ v rovině vypočteme:^[1]

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}}}}$

V trojrozměrném prostoru vzdálenost bodů ${\displaystyle A[x_{a};y_{a};z_{a}]}$ a ${\displaystyle B[x_{b};y_{b};z_{b}]}$ vypočteme:^[1]

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^{2}+(z_{b}-z_{a})^{2}}}}$

Existují určité typy bodů, které mají svůj název a často také obvyklá písmena užívaná pro jejich označení (případně se k těmto písmenům přidávají číselné indexy nebo čárky). Mezi nejvýznamnější, nejčastěji užívané a s poměrně ustáleným značením patří:

• krajní bod úsečky nebo polopřímky, určující bod přímky nebo polopřímky (většina bodů má tento význam)
• vrchol (A, B, C…; K, L, M…) - viz zejména Mnohoúhelník
• střed (O, S)
• průsečík (P)
• bod dotyku (T)
• těžiště (T)
• průsečík výšek (V) - použitelné především u trojúhelníka
• ohnisko (F, příp. také E u elipsy)

• Geometrie
• Geometrický útvar
• Přímka
• Rovina
• Prostor
• Událost

• Obrázky, zvuky či videa k tématu bod na Wikimedia Commons
• Téma Bod ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo bod ve Wikislovníku