Borelovská míra

Borelovská míra je v matematice, jmenovitě v teorii míry definována takto: nechť X je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor a nechť ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ je nejmenší σ-algebra tvořená otevřenými množinami z X, známá jako σ-algebra borelovských množin. Libovolná míra µ definovaná na σ-algebře borelovských množin se nazývá borelovská míra. Někteří autoři navíc vyžadují, aby µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C. Pokud je borelovská míra µ vnitřní regulární míra i vnější regulární míra, nazývá se Borelovská regulární míra (někteří autoři navíc vyžadují, aby byla těsná). Pokud je µ vnitřní regulární a lokálně konečná, nazývá se Radonova míra. Všimněte si, že lokálně konečná borelovská míra automaticky splňuje podmínku, že µ(C) < ∞ pro každou kompaktní množinu C.

Na reálné ose

Reálná osa ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se svou obvyklou topologií je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor, takže na ní můžeme definovat borelovskou míru. V tomto případě je ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )}$ nejmenší σ-algebra obsahující otevřené intervaly množiny reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Přestože existuje mnoho Borelovských měr µ, obvykle se používá míra, která přiřazuje každému intervalu ${\displaystyle <a,b>}$ míru ${\displaystyle \mu (<a,b>)=b-a}$. V praxi tato borelovská míra není nejužitečnější mírou definovanou na σ-algebře borelovských množin; vskutku, Lebesgueova míra ${\displaystyle \lambda }$ je rozšířením této borelovské míry, která je na rozdíl od borelovské míry úplná. Pro objasnění, když řekneme, že Lebesgueova míra ${\displaystyle \lambda }$ je rozšířením borelovské míry ${\displaystyle \mu }$, znamená to, že každá borelovsky měřitelná (B-měřitelná) množina E je také lebesgueovsky měřitelná, a pro borelovské množiny se borelovská míra a Lebesgueova míra shoduje (tj. ${\displaystyle \lambda (E)=\mu (E)}$ pro každou Borelovsky měřitelnou množinu).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Borel measure na anglické Wikipedii.

• J. D. Pryce. Basic methods of functional analysis. [s.l.]: Hutchinson, 1973. (Hutchinson University Knihovna). ISBN 0-09-113411-0. 
• RANSFORD, Thomas. Potential theory in the complex plane. Svazek 28. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. (London Matematický Society Student Texts). Dostupné online. ISBN 0-521-46654-7. 
• Alan J. Weir. General integration and measure. [s.l.]: Cambridge University Press, 1974. Dostupné online. ISBN 0-521-29715-X. 

Externí odkazy

• borelovská míra v Encyclopedia of Mathematics