Bretschneiderův vzorec

V geometrii je Bretschneiderův vzorec následující výraz pro obsah obecného čtyřúhelníku:

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle ={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd[1+\cos(\alpha +\gamma )]}}}$

Zde, a, b, c, d jsou strany, s je poloviční obvod, a α a γ jsou dva protilehlé úhly.

Bretschneiderův vzorec lze použít pro jakémkoliv čtyřúhelník, ať už je pravidelný, nebo ne.

Německý matematik Carl Anton Bretschneider objevil vzorec v roce 1842. Vzorec byl také odvozen ve stejném roce německým matematikem Karlem Georgem Christianem von Staudtem.

Označte obsah čtyřúhelníku S je pak:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\text{obsah}}\triangle ADB+{\text{obsah }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Proto

${\displaystyle 2S=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

Věta kosinova naznačuje

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}$

protože obě strany se rovnají čtverci délky diagonály BD. To může být přepsáno jako

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Přidá se k výše uvedenému vzorci ${\displaystyle 4S^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Všimněte si, že: ${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$

Podle stejných kroků jako ve vzorci Brahmagupty může být napsáno jako

${\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

Zavedebí polovičního obvodu

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

a dosazením výše

${\displaystyle 16S^{2}=16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle S^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

a Bretschneiderův vzorec dostaneme odmocněním:

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

Čtyřúhelník s danými délkami stran má největší obsah, právě když je tětivový. To je lépe vidět ze vzorce s úhly, protože právě u tětivového čtyřúhelníku je součet protějších úhlů roven 180°. U vzorce s diagonálami to plyne z Ptolemaiovy věty.

Bretschneiderův vzorec zobecňuje Brahmaguptův vzorec pro tětivový čtyřúhelník na libovolný čtyřúhelník.

Vzorec lze upravit na tvar bez úhlů, jen s délkami stran a úhlopříček e a f: ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}$

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Bretschneider's formula na anglické Wikipedii.

• Ayoub B. Ayoub: Zobecnění Ptolemaia a Brahmaguptaových vědomostí . Matematika a počítačová výchova, číslo 41, číslo 1, 2007, ISSN 0730-8639
• EW Hobson : Pojednání o rovinné trigonometrii . Cambridge University Press, 1918, s.   204-205 ( online kopie )
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online kopie, němčina )
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online kopie, němčina )