Burnsideův problém

Burnsideův problém je jeden z nejstarších a nejslavnějších problémů z teorie grup. V základní podobě byl formulován roku 1902 Williamem Burnsidem. Později byl zobecněn a ačkoli mnohé speciální případy tohoto problému již byly vyřešeny, v plné obecnosti zůstává i v současnosti (květen 2007) jedním z otevřených problémů.

Obecný Burnsideův problém

Formulace

Nechť G je grupa. Množina ${\displaystyle X\subseteq G}$ se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. prvků tvaru ${\displaystyle x^{-1}}$ pro ${\displaystyle x\in X}$). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.

Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému ${\displaystyle g\in G}$ existuje n, že ${\displaystyle g^{n}=1}$.

Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem:

Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?

Řešení

Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).

Burnsideův problém

Formulace

Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně:

Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující ${\displaystyle g^{n}=1}$ pro všechny své prvky g. Musí pak G být konečná?

Částečná řešení

Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.

Omezený Burnsideův problém

Formulace

Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto:

Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících ${\displaystyle g^{n}=1}$ pro všechna ${\displaystyle g\in G}$, kde r a n jsou daná přirozená čísla?

Řešení

Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.

Odkazy

Související články

• William Burnside
• Golodova věta
• Jefim Izakovič Zelmanov

Externí odkazy

• A History of the Burnside Problem