Cantorova funkce
Cantorova funkce je příkladem funkce, která je spojitá (dokonce i stejnoměrně spojitá), ale není absolutně spojitá. Je pojmenována po Georgi Cantorovi.
Definice
Cantorovu funkci c : [0;1] → [0;1] zavedeme pomocí následujícího postupu:
- Číslo x zapíšeme v trojkové soustavě, pokud je to možné, vyhneme se zápisu, který obsahuje jedničky. (Rozdíl se projeví v případě, že rozvoj čísla končí na 022222... = 100000... nebo 200000... = 122222...)
- První jedničku nahradíme dvojkou a vše za ní nulou. Pokud se v zápisu čísla žádná jednička nevyskytuje, tento krok přeskočíme.
- Všechny dvojky nahradíme jedničkami.
- Výsledek interpretujeme jako číslo v binární soustavě. Toto je c(x).
Příklad:
- 1/4 zapíšeme v trojkové soustavě jako 0,02020202...; nejsou zde žádné jedničky k nahrazení, takže můžeme rovnou přepsat dle dalšího kroku na 0,01010101...; toto (přečteno jako číslo dvojkové soustavy) se rovná 1/3. c(1/4) = 1/3.
- 1/5 zapíšeme jako 0,01210121...; první jedničku zaměníme za dvojku a vše za ní přepíšeme nulami, získáme číslo 0.02000000...; dále přepíšeme na 0,01000000...; přečteme jako 1/4. c(1/5) = 1/4.
(Na obrázku je vidět výsledná funkce)
Vlastnosti
- Cantorova funkce je spojitá na celém intervalu [0;1]
- zobrazuje interval [0;1] na interval [0;1]
- má derivaci rovnou 0 skoro všude
- je spojitá, ale není absolutně spojitá
- nemá derivaci v žádném bodě Cantorova diskontinua
- je konstantní na intervalech tvaru (0,x1x2x3...xn022222...; 0,x1x2x3...xn200000...), každý bod, jenž nenáleží Cantorovu diskontinuu, leží v jednom z těchto intervalů, takže jeho derivace je rovna 0.
Jiná definice
Definujme posloupnost funkcí fn na intervalu [0;1] takto:
- f0(x) = x
- definujme fn+1(x) rekurentně pomocí fn(x)
- fn+1(x) = 0,5 fn(3x) pokud 0 ≤ x ≤ 1/3.
- fn+1(x) = 0,5 pokud 1/3 ≤ x ≤ 2/3.
- fn+1(x) = 0,5 + 0.5 fn(3 (x − 2/3)) pokud 2/3 ≤ x ≤ 1.
Takto definovaná posloupnost funkcí konverguje k Cantorově funkci. Povšimněme si, že na volbě počáteční funkce nezáleží, pokud bude omezená a bude splňovat: f0(0) = 0 a f0(1) = 1
Související články
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Cantorova funkce na Wikimedia Commons - Cantor Function by Douglas Rivers, The Wolfram Demonstrations Project.
- Cantorova funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)
Média použitá na této stránce
Cantor function sequence.png
Representation of the first three functions of the sequence originating the Cantor fuction. Own work.
Representation of the first three functions of the sequence originating the Cantor fuction. Own work.