Cantorova funkce

Cantorova funkce je příkladem funkce, která je spojitá (dokonce i stejnoměrně spojitá), ale není absolutně spojitá. Je pojmenována po Georgi Cantorovi.

Cantorovu funkci c : [0;1] → [0;1] zavedeme pomocí následujícího postupu:

1. Číslo x zapíšeme v trojkové soustavě, pokud je to možné, vyhneme se zápisu, který obsahuje jedničky. (Rozdíl se projeví v případě, že rozvoj čísla končí na 022222... = 100000... nebo 200000... = 122222...)
2. První jedničku nahradíme dvojkou a vše za ní nulou. Pokud se v zápisu čísla žádná jednička nevyskytuje, tento krok přeskočíme.
3. Všechny dvojky nahradíme jedničkami.
4. Výsledek interpretujeme jako číslo v binární soustavě. Toto je c(x).

Příklad:

• 1/4 zapíšeme v trojkové soustavě jako 0,02020202...; nejsou zde žádné jedničky k nahrazení, takže můžeme rovnou přepsat dle dalšího kroku na 0,01010101...; toto (přečteno jako číslo dvojkové soustavy) se rovná 1/3. c(1/4) = 1/3.
• 1/5 zapíšeme jako 0,01210121...; první jedničku zaměníme za dvojku a vše za ní přepíšeme nulami, získáme číslo 0.02000000...; dále přepíšeme na 0,01000000...; přečteme jako 1/4. c(1/5) = 1/4.

(Na obrázku je vidět výsledná funkce)

• Cantorova funkce je spojitá na celém intervalu [0;1]
• zobrazuje interval [0;1] na interval [0;1]
• má derivaci rovnou 0 skoro všude
• je spojitá, dokonce stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá
• nemá derivaci v žádném bodě Cantorova diskontinua
• je konstantní na intervalech tvaru (0,x₁x₂x₃...x_n022222...; 0,x₁x₂x₃...x_n200000...), každý bod, jenž nenáleží Cantorovu diskontinuu, leží v jednom z těchto intervalů, takže jeho derivace je rovna 0.

Definujme posloupnost funkcí f_n na intervalu [0;1] takto:

• f₀(x) = x
• definujme f_n+1(x) rekurentně pomocí f_n(x)
  • f_n+1(x) = 0,5 f_n(3x) pokud 0 ≤ x ≤ 1/3.
  • f_n+1(x) = 0,5 pokud 1/3 ≤ x ≤ 2/3.
  • f_n+1(x) = 0,5 + 0.5 f_n(3 (x − 2/3)) pokud 2/3 ≤ x ≤ 1.

Takto definovaná posloupnost funkcí konverguje k Cantorově funkci. Povšimněme si, že na volbě počáteční funkce nezáleží, pokud bude omezená a bude splňovat: f₀(0) = 0 a f₀(1) = 1

• Cantorovo diskontinuum
• Georg Cantor

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cantorova funkce na Wikimedia Commons
• Cantor Function by Douglas Rivers, The Wolfram Demonstrations Project.
• Cantorova funkce v encyklopedii MathWorld (anglicky)