Cantorovo diskontinuum

Cantorovo diskontinuum je matematický pojem označující jistou množinu bodů na přímce. Tato množina má některé velmi zvláštní vlastnosti. Cantorovo diskontinuum bývá také často považováno za fraktál.

Definice

Intuitivně lze Cantorovo diskontinuum definovat takto: Mějme dán uzavřený interval [0,1]. Odebereme-li z něj jeho prostřední třetinu (bez krajních bodů), získáme tím dva nové uzavřené intervaly třetinové délky. Pokud z obou těchto intervalů opět odebereme jejich prostřední třetiny, získáme celkem čtyři nové intervaly devítinové délky. Budeme-li takto pokračovat dál, tj. budeme-li odebírat v každém kroku vždy prostřední třetiny všech vzniklých intervalů, a provedeme-li těchto kroků nekonečně mnoho, získáme množinu bodů, které zůstanou neodebrány. Tuto množinu nazveme Cantorovo diskontinuum.

Sedmá iterace Cantorova diskontinua

Mnohem kratší, ale zato méně intuitivní definice je tato: Cantorovo diskontinuum je množina všech bodů v intervalu [0,1], v jejichž trojkovém rozvoji se nevyskytuje číslice 1 (přesněji v alespoň jednom z (nejvýše dvou možných) trojkových rozvojů).

Vlastnosti

Cantorovo diskontinuum:

• je nespočetná množina
• je perfektní množina (je rovno množině svých limitních bodů)
• je řídká množina
• je uzavřená množina
• má Lebesgueovu míru 0
• má Hausdorffovu dimenzi ln(2)/ln(3) = 0,6309...

Je možno spočítat, jakou část úsečky odebereme v každém kroku. V prvním řádku odebereme jednu třetinu, v druhém pak dvě devítiny atd. Když tyto kroky sečteme, dostaneme geometrickou posloupnost:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n}}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.}$

Jinými slovy, limitním způsobem zmizí intervaly o stejné délce, jako měla původní úsečka (tj. Cantorovo diskontinuum je množina míry 0).

Zobecnění do více rozměrů

Jako zobecnění Cantorova diskontinua lze konstruovat obdobně (tj. rovnoměrným rozdělením každé celistvé části útvaru a odebráním středové oblasti v nekonečně iteračních krocích) i další fraktální útvary v rovině a v prostoru, např.:

• Cantorův prach v rovině má Hausdorffovu dimenzi ln(4)/ln(3) = 1,2619..., v prostoru pak ln(8)/ln(3) = 1,8928...

• Sierpinského trojúhelník má Hausdorffovu dimenzi ln(3)/ln(2) = 1,5849..., Sierpinského koberec^[1] pak ln(8)/ln(3) = 1,8928... (tedy stejnou jako Cantorův prach v prostoru)

• Sierpinského čtyřstěn, též zvaný tetrix, má Hausdorffovu dimenzi ln(4)/ln(2) = 2 (tedy stejnou jako rovina), Sierpinského pyramida (na obr. červeně) ln(5)/ln(2) = 2,3219..., Mengerova houba pak ln(20)/ln(3) = 2,7268...

Historie

Sám Cantor diskontinuum definoval pouze obecně. Množinu vzniklou konstrukcí pomocí odebírání třetin zmínil jenom jako příklad perfektní a řídké množiny.

Hlavice sloupu z ostrova Philae se vzorem připomínajícím Cantorovo diskontinuum.

Hlavice sloupu z ostrova Philae pocházejícího ze starověkého Egypta má na sobě vzor, který připomíná Cantorovo diskontinuum. Cantor mohl vidět obraz tohoto sloupu, neboť jeho bratranec byl egyptolog.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cantor set na anglické Wikipedii.

Související články

• Cantorova funkce
• Georg Cantor

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cantorovo diskontinuum na Wikimedia Commons
• Cantorovo diskontinuum na mathworldu