Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar (vydělením vedoucím koeficientem)

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)}$

Substitucí (posunutím proměnné) ${\displaystyle x=t-a/3}$ odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)}$

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560–1621) substitucí ${\displaystyle t=y-{p \over 3y}}$ a vynásobením ${\displaystyle y^{3}}$, po snadných úpravách dostaneme ${\displaystyle y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0}$, kterou jednoduše vyřešíme převedením na kvadratickou rovnici substitucí ${\displaystyle z=y^{3}}$.
      Dále popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích a je v podstatě stejná.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

${\displaystyle t=u+v}$

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0}$ (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

${\displaystyle 3uv+p=0}$.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

${\displaystyle -u^{3}+{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.}$

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u³ a dostaneme

${\displaystyle u^{6}+qu^{3}-p^{3}/27=0\,.}$

Toto je kvadratická rovnice pro u³. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

${\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}$

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\quad (4)}$

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

${\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.}$

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině (${\displaystyle \pm }$), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená ${\displaystyle {\tfrac {-1}{2}}\pm i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě −p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

${\displaystyle v=-{\sqrt[{3}]{q}}}$.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak

${\displaystyle u={\sqrt {p/3}}}$ a

${\displaystyle v=-{\sqrt {p/3}}}$, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,

${\displaystyle t=ju-p/3ju={\sqrt {-p}}}$ a

${\displaystyle t=u/j-jp/3u=-{\sqrt {-p}}}$, kde

${\displaystyle j={\tfrac {-1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\ }$

řešení pro neznámou x dostaneme jako

${\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}}$

kde

${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}$

${\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}}$

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}$

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že ${\displaystyle u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ nebo ${\displaystyle {\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ .

Ale protože u a v musí splňovat ${\displaystyle -u^{3}-v^{3}=q}$ a ${\displaystyle -uv={\frac {p}{3}}}$ , můžeme dokázat, že pokud

${\displaystyle u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ , pak ${\displaystyle v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

${\displaystyle u=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.~~~a~~~v=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.}$

Nezapomeňte, že díky ${\displaystyle ~t=u+v~}$ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud ${\displaystyle -uv={\frac {p}{3}}}$ , takže musí platit –

${\displaystyle t=\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\&\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right){\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\\end{aligned}}\right.}$

a x dostaneme jako ${\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}}}$

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

${\displaystyle D={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$.

Potom platí:

1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
3. Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic equation na anglické Wikipedii.