Catalanova věta

Catalanova věta (občas nazývaná jako Mihăilescova věta) je matematická věta v teorii čísel vyslovená matematikem Eugène Charlesem Catalanem v roce 1844 a dokázaná roku 2002 Predem Mihăilescu.

Vezměme dvě čísla z množiny přirozených čísel 23 a 32 s hodnotami 8 a 9 po umocnění, jedná se tedy o dvě po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel. Domněnka říká, že toto jsou jediné po sobě jdoucí mocniny přirozených čísel, tedy jediné řešení diofantické rovnice :xa − yb = 1 ležící v množině přirozených čísel. Pro x, a, y, b > 1 je x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

Historie

Historie tohoto problému se datuje přinejmenším k Levi ben Gershonovi, který ukázal speciální případ roku 1343 kde x a y byla omezena na hodnoty 2 nebo 3.

Roku 1974, Robert Tijdeman aplikoval metodu z teorie transcendentních čísel aby ukázal že existuje konstanta C taková, že exponenty po sobě jdoucích mocnin jsou menší než C. Vzhledem k tomu, že výsledky práce ostatních matematiků ukázaly, že C je vázána na zmíněné exponenty, byla udána podmínka, že věta platí na omezený počet případů. Nicméně pro dokončení důkazu byl potřeba silný výpočetní výkon a mnoho času.

Catalanova věta byla dokázána roku 2002 Predou Mihăilescuem a od té doby se nazývá Mihăilescova věta. Důkaz byl publikován v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik roku 2004 a využívá oblastí jako jsou cyklotomická tělesa a Galoisova korespondence.

Pillaisova domněnka

Pillaisova domněnka se týká rozdílu mocnin. Říká, že posloupnost rozdílů mocnin diverguje k nekonečnu, pokud se každý rozdíl opakuje v konečně mnoha opakováních. Jde o otevřený problém pojmenovaný po indickém matematikovi S. S. Pillai.

Paul Erdős se domníval, že existuje nějaké kladné C takové, že pokud d - rozdíl mocnin n, pak d>nc pro dostatečně velké n.

Související články

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Catalan's conjecture na anglické Wikipedii.

  • Preda Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture. J. Reine angew. Math.. 2004, roč. 572, s. 167–195. Dostupné v archivu pořízeném dne 2020-06-02. DOI 10.1515/crll.2004.048.  Archivováno 2. 6. 2020 na Wayback Machine.. MathSciNet Featured Review MathSciNet - id = 2076124.
  • Paulo Ribenboim. Catalan's Conjecture. [s.l.]: Academic Press, 1994. Dostupné online. ISBN 0-12-587170-8.  Predates Mihăilescu's proof.
  • Robert Tijdeman. On the equation of Catalan. Acta Arith.. 1976, roč. 29, čís. 2, s. 197–209. 
  • Tauno Metsänkylä. Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved. Bulletin of the American Mathematical Society. 2004, roč. 41, čís. 1, s. 43–57. Dostupné online [PDF]. DOI 10.1090/S0273-0979-03-00993-5. 
  • Yuri Bilu. Catalan's conjecture (after Mihăilescu). Astérisque. 2004, roč. 294, s. vii, 1 – 26. 

Externí odkazy