Cauchyho úloha

Jako Cauchyho úloha se označuje problém nalezení řešení pro diferenciální rovnici při daných počátečních podmínkách. Přesněji:

Nechť ${\displaystyle y^{(n)}(x)=F(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)})}$ je obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu v normálním tvaru. Dále nechť ${\displaystyle \mathbf {x} \equiv (x_{0},y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n-1})}$ je jistý, pevně zadaný, bod definičního oboru zobrazení F, tj. ${\displaystyle \mathbf {x} \in D_{F}}$. Nakonec mějme v tomto bodě zadány počáteční podmínky

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0},\quad y'(x_{0})=y_{1},\quad y''(x_{0})=y_{2},\quad y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}.}$

Úloha nalezení řešení pro výše uvedenou diferenciální rovnici a zadané počáteční podmínky se nazývá Cauchyho úloha.

Pojmenována je po francouzském matematikovi A. L. Cauchym.