Cauchyovo limitní odmocninové kritérium
Cauchyovo limitní odmocninové kritérium je v matematice kritérium konvergence nekonečné řady. Závisí na hodnotě
kde jsou členy řady a říká, že řada konverguje absolutně, jestliže tato hodnota je menší než jedna, a diverguje, pokud je větší než jedna. Limitní odmocninové kritérium je obzvláště užitečné pro mocninné řady.
Popis kritéria
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Decision_diagram_for_the_root_test.svg/300px-Decision_diagram_for_the_root_test.svg.png)
Toto kritérium konvergence řad navrhl Augustin Louis Cauchy a publikoval jej ve své učebnici Cours d'analyse (1821)[1]. Pro řadu
používá Cauchyovo kritérium hodnotu
kde „lim sup“ označuje limes superior, případně ∞+.[2] Pokud konverguje výraz
pak se rovná C a tato hodnota může být použita jako kritérium konvergence.
Cauchyův kritérium říká, že:
- pokud C < 1, pak řada konverguje absolutně,
- pokud C > 1, pak řada diverguje,
- pokud C = 1 a limita se blíží striktně shora, pak řada diverguje,
- jinak je test nerozhodný (řada může divergovat, konvergovat absolutně nebo konvergovat podmíněně).
Existují řady, pro které C = 1 a řada konverguje, například a existují jiné, pro které C = 1 a řada diverguje, například .
Aplikace na mocninné řady
Toto kritérium lze používat pro mocninné řady
kde koeficienty cn a střed p jsou komplexní čísla a argument z je komplexní proměnná.
Členy této řady jsou an = cn(z − p)n. Pak lze použít odmocninové kritérium na an, jako je uvedeno výše. Pamatujte, že někdy řada jako toto se nazývá mocninná řada "okolo p", protože poloměr konvergence je poloměr R největší interval nebo kruh se středem v p tak, že řada bude konverguje pro všechny body z striktně uvnitř (konvergence na hranici intervalu nebo obecně kruhu musí být zkontrolována odděleně). Důsledek odmocninového kritéria aplikovaný na takovou mocninnou řadu je, že poloměr konvergence je přesně , přičemž je ∞, pokud je jmenovatel 0.
Důkaz
Důkaz konvergence řady Σan vychází ze srovnávacího kritéria. Pokud pro všechny n ≥ N (N nějaké pevné přirozené číslo) platí pak . Protože geometrická řada konverguje, pak podle srovnávacího kritéria konverguje i . Tedy Σan konverguje absolutně.
Pokud pro nekonečně mnoho n, pak an nekonverguje k 0, a tedy řada diverguje.
Důkaz důsledku: U mocninné řady Σan = Σcn(z − p)n jsme výše viděli, že řada konverguje, pokud existuje N takové, že pro všechna n ≥ N je
což je ekvivalentní s
pro všechna n ≥ N. Z toho plyne, že aby řada konvergovala, musí platit pro všechna dostatečně velká n. To je ekvivalentní s
takže Nyní jediné jiné místo, kde je možná konvergence, je pokud
(protože v bodech, kde > 1 bude řada divergovat), což poloměr konvergence nezmění, protože se jedná pouze o body ležící na hranici intervalu nebo kruhu, takže
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Root test na anglické Wikipedii.
- ↑ BOTTAZZINI, Umberto. The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. [s.l.]: Springer-Verlag, 1986. Dostupné online. ISBN 978-0-387-96302-0. S. 116–117.. Překlad z italštiny Warren Van Egmond.
- ↑ Terrence Tichaona Dobbie (2017)
Související články
- Řada (matematika)
- Kritéria konvergence řad
- D'Alembertovo kritérium
- Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence
Literatura
- JARNÍK, Jiří. Posloupnosti a řady. Praha: Mladá fronta, 1979. Dostupné online. Kapitola 3, s. 68–69.
- Knopp, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover publications, Inc., 1956. Dostupné online. ISBN 0-486-60153-6. Kapitola 3.2. (anglicky)
- WHITTAKER, E. T.; WATSON, G. N. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3. Kapitola 2.35. (anglicky)
- Proof of Cauchy's root test [online]. PlanetMath [cit. 2020-01-30]. Dostupné online. (anglicky)
Média použitá na této stránce
Autor: Stephan Kulla (Stephan Kulla), Licence: CC BY-SA 4.0
Decision diagram for the root test