Cayleyho tabulka

	Asociativita	Neutrální prvek	Inverzní prvek
Grupa	Ano	Ano	Ano
Monoid	Ano	Ano	Ne
Pologrupa	Ano	Ne	Ne
Lupa	Ne	Ano	Ano
Kvazigrupa	Ne	Ne	Ano
Grupoid	Ne	Ne	Ne

Struktury s jednou binární operací

Cayleyho tabulka pro dihedrální grupu řádu 8

Cayleyho tabulka je tabulka výsledků binární operace nad konečnou množinou. Ukazuje názorně strukturu dané množiny, používá se tak pro určování, o jakou algebraickou strukturu se jedná. Je pojmenována po britském matematikovi Arthurovi Cayleym.

Cayleyho tabulka pro grupu a násobení je vždy latinským čtvercem.^[1]

Vlastnosti

uzavřenost

Obsahuje-li tabulka pouze prvky z ${\displaystyle \mathbb {M} }$, množina je uzavřená na dané operaci. Jedná se tedy (minimálně) o konečný grupoid.

asociativita

Vzhledem k tomu, že tabulka ukazuje výsledky pouze pro dva prvky z ${\displaystyle \mathbb {M} }$ a ne pro více, jak by bylo pro dokázání rovnosti ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ potřeba, nelze z ní samotné přímo určit, zda je daná operace asociativní či ne. Cayleyho tabulka je však základem pro tzv. Lightův test asociativity, který již asociativitu určit dokáže.

neutrální prvek

Má-li nějaký prvek svůj řádek shodný s prvním řádkem tabulky a svůj sloupec shodný s prvním sloupcem tabulky, je neutrálním prvkem.

inverzní prvek

Vzájemně inverzní prvky ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ mají v místech průsečíků (řádku ${\displaystyle a}$ se sloupcem ${\displaystyle b}$ a sloupce ${\displaystyle a}$ s řádkem ${\displaystyle b}$) uveden neutrální prvek.

komutativita

Je-li tabulka osově souměrná podle hlavní diagonály, je daná operace komutativní.

Příklad

Příklad pro grupoid ${\displaystyle (\mathbb {M} ;\cdot )}$, kde množina ${\displaystyle \mathbb {M} =\{-1,1\}}$, a ${\displaystyle \cdot }$ je operace násobení.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cayley table na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Cayleyho tabulka na Wikimedia Commons