Cayleyho tabulka

Asociativita  Neutrální prvek   Inverzní prvek
GrupaAnoAnoAnoAnoAnoAno
MonoidAnoAnoAnoAnoNeNe
PologrupaAnoAnoNeNeNeNe
LupaNeNeAnoAnoAnoAno
KvazigrupaNeNeNeNeAnoAno
GrupoidNeNeNeNeNeNe
Struktury s jednou binární operací
Cayleyho tabulka pro dihedrální grupu řádu 8

Cayleyho tabulka je tabulka výsledků binární operace nad konečnou množinou. Ukazuje názorně strukturu dané množiny, používá se tak pro určování, o jakou algebraickou strukturu se jedná. Je pojmenována po britském matematikovi Arthurovi Cayleym.

Cayleyho tabulka pro grupu a násobení je vždy latinským čtvercem.[1]

Vlastnosti

uzavřenost
Obsahuje-li tabulka pouze prvky z , množina je uzavřená na dané operaci. Jedná se tedy (minimálně) o konečný grupoid.
asociativita
Vzhledem k tomu, že tabulka ukazuje výsledky pouze pro dva prvky z a ne pro více, jak by bylo pro dokázání rovnosti potřeba, nelze z ní samotné přímo určit, zda je daná operace asociativní či ne. Cayleyho tabulka je však základem pro tzv. Lightův test asociativity, který již asociativitu určit dokáže.
neutrální prvek
Má-li nějaký prvek svůj řádek shodný s prvním řádkem tabulky a svůj sloupec shodný s prvním sloupcem tabulky, je neutrálním prvkem.
inverzní prvek
Vzájemně inverzní prvky a mají v místech průsečíků (řádku se sloupcem a sloupce s řádkem ) uveden neutrální prvek.
komutativita
Je-li tabulka osově souměrná podle hlavní diagonály, je daná operace komutativní.

Příklad

Příklad pro grupoid , kde množina , a je operace násobení.

×1−1
11−1
−1−11

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cayley table na anglické Wikipedii.

  1. POLÁŠEK, Martin. Latinské a magické čtverce. Brno, 2011 [cit. 2013-10-03]. 64 s. Diplomová práce. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Eduard Fuchs. s. 24. Dostupné online.

Externí odkazy

Média použitá na této stránce