Celistvý prvek

Celistvý prvek je pojem z oboru komutativní algebry. Je-li dán komutativní okruh ${\displaystyle S}$ a jeho podokruh ${\displaystyle R}$, pak je prvek ${\displaystyle b\in S}$ celistvý nad ${\displaystyle R}$, je-li kořenem nějakého monického polynomu s koeficienty z ${\displaystyle R}$, tedy pokud existují ${\displaystyle n\geq 1}$ a ${\displaystyle r_{j}\in R}$ taková, že ${\displaystyle b^{n}+r_{n-1}b^{n-1}+\cdots +r_{1}b+r_{0}=0}$. Definice celistvého prvku se liší od definice algebraického prvku pouze v přidaném požadavku, aby byl polynom monický, z čehož plyne, že každý celistvý prvek je algebraický.

Množina prvků ${\displaystyle S}$, které jsou celistvé nad ${\displaystyle R}$, se nazývá celistvý uzávěr ${\displaystyle R}$ v ${\displaystyle S}$.

Příklady

• Celistvé prvky nad celými čísly v racionálních číslech jsou právě všechna celá čísla.
• Pro okruh ${\displaystyle \mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {5}}{\big )}}$ je nad celými čísly celistvým uzávěrem okruh ${\displaystyle \mathbb {Z} \!\left[{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right].}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Ganzheit (kommutative Algebra) na německé Wikipedii.