Centrovaný systém

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Definice

Předpokládejme, že ${\displaystyle S\,\!}$ je množina podmnožin množiny ${\displaystyle X\,\!}$ (někdy se také říká, že ${\displaystyle S\,\!}$ je systém množin na ${\displaystyle X\,\!}$), tj. ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!}$, kde ${\displaystyle \mathbb {P} (X)\,\!}$ je potenční množina množiny ${\displaystyle X\,\!}$. O množině ${\displaystyle S\,\!}$ řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:
${\displaystyle (\forall y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in S)(y_{1}\cap y_{2}\cap \ldots \cap y_{n}\neq \emptyset )\,\!}$

Vlastnosti a příklady

Triviální centrovaný systém

Pokud má celý systém ${\displaystyle S\,\!}$ neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu ${\displaystyle Y\subseteq S\,\!}$ (nejen konečnou) platí
${\displaystyle \emptyset \neq \bigcap S\subseteq \bigcap Y\implies \emptyset \neq \bigcap Y\,\!}$

Netriviální centrovaný systém

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že ${\displaystyle \bigcap S=\emptyset \,\!}$, ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
${\displaystyle S=\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4},\ldots \}\,\!}$, kde ${\displaystyle u_{i}\,\!}$ je množina všech nenulových násobků čísla ${\displaystyle i\,\!}$, tj.

• ${\displaystyle u_{1}=\{1,2,3,\ldots \}\,\!}$
• ${\displaystyle u_{2}=\{2,4,6,\ldots \}\,\!}$
• ${\displaystyle u_{3}=\{3,6,9,\ldots \}\,\!}$
• ${\displaystyle u_{4}=\{4,8,12,\ldots \}\,\!}$
• ${\displaystyle \ldots \,\!}$

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo ${\displaystyle k\,\!}$ jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny ${\displaystyle S\,\!}$ (například pro ${\displaystyle \{s_{3},s_{5},s_{6},s_{8}\}\,\!}$ je ${\displaystyle k=120\,\!}$), pak ${\displaystyle u_{k}\,\!}$ je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému ${\displaystyle \bigcap S\,\!}$ neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo ${\displaystyle n\in \bigcap S\,\!}$ a tím pádem by muselo mimo jiné být ${\displaystyle n\in u_{n+1}\,\!}$, což je nesmysl.

Vztah centrovaných systémů a filtrů

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém ${\displaystyle \{\{0,1,2\},\{1,2,3\}\}\,\!}$ je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu ${\displaystyle \{1,2\}=\{0,1,2\}\cap \{1,2,3\}\,\!}$ . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} (X)\,\!}$ rozšířit do nějakého filtru na množině ${\displaystyle X\,\!}$. Snadno lze ukázat, že množina
${\displaystyle F(S)=\{Y\subseteq X:(\exists Q\in [S]^{<\omega })(\bigcap Q\subseteq Y)\}\,\!}$
je nejmenší filtr na ${\displaystyle X\,\!}$, který v sobě obsahuje ${\displaystyle S\,\!}$.

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

1. Vezmu centrovaný systém ${\displaystyle S\,\!}$.
2. Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu ${\displaystyle S\,\!}$).
3. K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu ${\displaystyle S\,\!}$, která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

Hlavní věta o ultrafiltrech

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Související články

• Filtr
• Ultrafiltr
• Svaz
• Potenční algebra