Centrum grupy

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

Definice

Centrem grupy ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ myslíme množinu ${\displaystyle \{h\in G|\forall g\in G:g\odot h=h\odot g\}.}$ Tedy množinu všech prvků z ${\displaystyle G}$, které s každým prvkem z ${\displaystyle G}$ vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit ${\displaystyle Z(G)}$.

Lemma

Nechť ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ je grupa. Pak ${\displaystyle Z(G)\trianglelefteq G}$ (centrum grupy G je její normální podgrupa).

Důkaz

Rozmyslete si, že ${\displaystyle Z(G)}$ je uzavřené na ${\displaystyle \odot }$ (tj. pokud ${\displaystyle h,g\in Z(G)}$, pak i ${\displaystyle h\odot g\in Z(G)}$) a ${\displaystyle e\in Z(G)}$ (připomeňme, že prvek ${\displaystyle e}$ jednotkový prvek grupy ${\displaystyle G}$, pokud ${\displaystyle \forall g\in G:g\odot e=e\odot g=g}$).

Pokud je ${\displaystyle g\in Z(G)}$, pak ${\displaystyle g^{-1}\odot h=(h^{-1}\odot g)^{-1}=(g\odot h^{-1})^{-1}=h\odot g^{-1}}$. Tím jsme ukázali, že ${\displaystyle g^{-1}\in Z(G)}$.

Zatím jsme dokázali, že ${\displaystyle Z(G)}$ je grupa, víme, že se skládá jen z prvků ${\displaystyle G}$, takže je to podgrupa ${\displaystyle G.}$ Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné ${\displaystyle g\in Z(G)}$ a jakékoli ${\displaystyle h\in G.}$ Pak ${\displaystyle h\odot g\odot h^{-1}=h\odot h^{-1}\odot g=e\odot g=g}$. Tedy ${\displaystyle h\odot g\odot h^{-1}\in Z(G)}$ a proto je ${\displaystyle Z(G)}$ normální podgrupa ${\displaystyle G.}$

Poznámka

Nosič ${\displaystyle G}$ každé grupy ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ může být zapsán takto: ${\displaystyle G=Z(G)\cup ^{disj.}\bigcup _{h\in I}^{disj.}O_{h}}$, kde ${\displaystyle O_{h}}$ je orbita prvku ${\displaystyle h\in G}$ vzhledem k vnitřnímu automorfismu a ${\displaystyle I}$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy ${\displaystyle G}$.

Důsledek

Je-li ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ konečná grupa, pak ${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{h\in I}[G:C_{h}]}$, kde ${\displaystyle I}$ je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy ${\displaystyle G}$ a ${\displaystyle [G:C_{h}]}$ je index stabilisátoru prvku ${\displaystyle h}$.

Další Důsledek

Nechť ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(G,\odot ,^{-1},e)}$ je grupa řádu ${\displaystyle |G|=p^{n}}$, kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo a ${\displaystyle 0<n\in \mathbb {N} }$. Pak ${\displaystyle |Z(G)|>1}$.

Věta

Ať ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ je grupa řádu ${\displaystyle p^{2}}$, kde ${\displaystyle p}$ je prvočíslo. Pak ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ je komutativní a buď ${\displaystyle {\mathcal {G}}\backsimeq \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ nebo ${\displaystyle {\mathcal {G}}\backsimeq \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

Důkaz

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související články

• Normální podgrupa
• Akce grupy na množině
• Orbita
• Grupa

Literatura

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazy

Skripta prof.Trlifaje z MFF UK (formát pdf)